Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 2а. Определение геометрических характеристик сечения, имеющего одну или две оси симметрии Требуется: 1. Найти положение центра тяжести. Если же оно известно без расчета, то обосновать его положение. 2. Показать главные центральные оси и обосновать их положение. 3. Вычислить главные центральные моменты инерции и осевые моменты сопротивления.

Выпучивание сжатой колонны при внецентренном сжатии

 Пусть стержень-колонна сжимается внецентренно силой Р, жёстко закреплена внизу при z = 0 и свободна от закрепления вверху при  

(рис. 9.41,а). Для решения задачи используем уравнение (9.22):

  (9.111)

Из рис. 9.41, а получаем:

   

Подставляя эти значения в (9.110), находим:

  

или, после деления на EJх,

   (9.112)

общее решение уравнения (9.107) имеет вид

  (9.113)

Граничные условия задачи: 

   при

  при  (9.114)

Удовлетворяя решение (9.113) условиям (9.114), получаем:

 

откуда находим:

 

Решение (9.113), с учётом найденных коэффициентов, принимает вид:

  (9.115)

Из (9.115) при  получаем значение максимального прогиба:

  (9.116)

При  из (9.116) получаем .

 График зависимости Р от f приведён на рис. 9.41,б.

 а) б)

 Рис. 9.41

Значение . соответствует критической нагрузке Эйлера:

 

 Рис. 9.42

 Максимальное нормальное напряжение в изгибаемой колонне находим по формуле:

  (9.117)

которую называют формулой секанса для .

 Так как , то формулу (9.117) запишем в виде:

  (9.118)

где  - параметр внешней нагрузки, имеющий размерность напря-жения.

 Назовём предельным упругим состоянием такое, при котором в стержне в опасной точке впервые достигается предел текучести, т.е.   Тогда, согласно (9.113), соответствующий параметр внешней нагрузки

  (9.119)

 Если форма и размеры сечения известны, то известны F,h,ix. Методом проб и ошибок можно построить зависимости  от гибкости  для различных значений  (рис. 9.42).

ПРИМЕР 1: Определить статический момент полукруга радиусом R (рис. 4) относительно горизонтальной оси z, совпадающей с диаметром, и координату центра тяжести yc.

Решение: По формуле (4) имеем . Выделим на рис. 4 на расстоянии y элементарную площадку dF с помощью двух хорд, параллельных оси z, на расстоянии dy друг от друга. Как следует из рис. 4

 

тогда 

  и 

Подставляя найденные значения y и dF в выражение Sz, получим

Координата центра тяжести сечения yc определяется по формуле (8):

Задача 2в. Для каждой пары сечений, имеющих одинаковые площади Требуется: 1. Найти и сравнить положения главных центральных осей. 2. Найти и сравнить величины главных центральных моментов инерции.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений