Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 2а. Определение геометрических характеристик сечения, имеющего одну или две оси симметрии Требуется: 1. Найти положение центра тяжести. Если же оно известно без расчета, то обосновать его положение. 2. Показать главные центральные оси и обосновать их положение. 3. Вычислить главные центральные моменты инерции и осевые моменты сопротивления.

 Устойчивость стержня, сжатого следящей силой

 Рассмотрим задачу о сжатии следящей силой, т.е. силой, которая при выпучивании стержня поворачивается так, что остаётся касательной к изогнутой оси на конце стойки (рис. 9.43). Такая сила может быть создана реактивной струёй ракеты.

 Ввиду малости прогибов считаем, что горизонтальная и вертикальная составляющие следящей силы:

   

 

 а) б) 

 Рис. 9.43 

Ввиду малости прогибов считаем, что горизонтальная и вертикальная составляющие следящей силы:

   

 Общее решение задачи представлено выражением (9.29). Граничные условия задачи имеют вид

  при ;

  при , (9.120)

где

 

 Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.120), получим:

  

 Исключая постоянные  , находим:

  (9.121)

 Определитель этой системы:

   

 Следовательно, система уравнений (9.116) не имеет отличных от нуля решений и потому

 Таким образом, по методу Эйлера сжатый следящей силой стержень не имеет искривлённых форм равновесия. Эту задачу впервые рассмотрел

  А.Пфлюгер (Германия) в 1950 г. и пришёл к выводу, что сжатый следящей силой стержень всегда устойчив.

 Такой вывод оказался неверным, т.к. метод Эйлера и его понятие устойчивости не являются общими и относятся только к задачам с консервативными внешними силами.

 В данной задаче потеря устойчивости проявляется не в переходе системы в смежное равновесное состояние в смысле Эйлера, а в переходе её в режим движения. Поэтому для исследования устойчивости со следящей неконсервативной силой следует применить динамический метод Лагранжа. Предположим, что на конце стержня сосредоточена масса m

(рис. 9.43,б). Тогда при её движении вместе со стержнем возникает сила инерции , где точки над  означают дифференцирование по времени. Для решения задачи воспользуемся принципом Даламбера и уравнением (9.105), которое в силу q = 0 принимает вид:

  (9.122)

где прогиб есть функция z и времени t, т.е.  Для решения задачи воспользуемся методом разделения переменных Фурье, полагая:

  (9.123)

 Подставляя (9.123) в (9.122), получим:

  (9.124)

 Общее решение (9.124) имеет вид:

  (9.125)

Граничные условия задачи:

   при z = 0,

 при z =  (9.121)

 Удовлетворяя решение (9.120) граничным условиям (9.121), получим граничные условия для:

  при  

  при  (9.127)

 Первые три условия очевидны. Последнее поясним подробнее. После подстановки (9.123) в четвёртое условие (9.126) имеем:

  

откуда, разделяя переменные, получим:

  

где - постоянная величина.

Следовательно,

  (9.128)

 Полагая в (9.128) , находим

  (9.129)

для действительных значений  и

  (9.130)

для  мнимых (- действительных) значений .

 Подставляя (9.125) в граничные условия (9.127), находим:

 (9.131)

 Исключая из (9.131)  найдём

  (9.132)

 Приравнивая определитель системы (9.132) к нулю, получим:

  (9.133)

 Пока выражение под радикалом в (9.128) положительно , оба значения  действительны и имеет место устойчивый периодический процесс движения (9.130).

Случай

  (9.134)

отвечает и переходу от устойчивого движения к неустойчивому. Корень уравнения (9.133) нами уже вычислялся:он равен ,

откуда получаем критическое значение следящей силы:

  

при которой сжатый стержень получит динамическую бифуркацию. При этой силе колебательный процесс становится неустойчивым. Примером такого беспорядочного процесса могут служить катастрофы при запуске баллистических ракет.

ПРИМЕР 2: Определить положение центра тяжести неравнобокого уголка 160´100´10 (пренебрегая закруглениями его полок) относительно осей z и y, совпадающих с наружными сторонами контура (рис. 5).

Найденные значения координат сравнить с табличными значениями по ГОСТ 8510-57.

Решение: Пренебрегая загружением полок уголка, разбиваем фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 5. Для первого (1) прямоугольника

Для второго (2) прямоугольника

Координаты центра тяжести сечения определяем по формулам (11) и (12):

По данным сортамента с учетом закруглений координаты центра тяжести равны zc=2,28см; yc=5,23см.

Для проверки правильности вычислений определим статические


моменты относительно центральных осей, которые должны быть равны нулю:

   .

Графическая проверка: точка С должна находиться на отрезке С1С2.

Задача 2в. Для каждой пары сечений, имеющих одинаковые площади Требуется: 1. Найти и сравнить положения главных центральных осей. 2. Найти и сравнить величины главных центральных моментов инерции.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений