Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 2а. Определение геометрических характеристик сечения, имеющего одну или две оси симметрии Требуется: 1. Найти положение центра тяжести. Если же оно известно без расчета, то обосновать его положение. 2. Показать главные центральные оси и обосновать их положение. 3. Вычислить главные центральные моменты инерции и осевые моменты сопротивления.

Устойчивость упругого стержня в условиях неограниченной ползучести

  Ползучесть некоторых полимерных материалов в установившейся стадии является нелинейной и описывается при вязкоупругих деформациях законом:

  (9.148)

Тогда постановка задачи об устойчивости на бесконечном интервале времени не имеет смысла. При ограниченной ползучести задача об устойчивости сжатого стержня имеет смысл, в соответствии с концепцией устойчивости, если сжимающая нагрузка Р больше нагрузки надёжности устойчивых состояний. В противном случае стержень может разрушиться от чрезмерного продольного изгиба вследствие развивающихся деформаций ползучести. Инженерной задачей является определение критического времени, в течение которого стержень способен воспринимать внешнюю нагрузку.

 Рассмотрим стержень идеализированного двутаврового поперечного сечения (рис. 9.48), шарнирно опёртый по краям и сжатый силами Р.

 Рис. 9.47

 Пусть  длина стержня, площадь каждой полки составляет F/2, и их размеры малы по сравнению с высотой сечения h, так что можно считать напряжения в каждой полке распределены равномерно. Площадью тонкой стенки пренебрегаем. Определяем момент инерции поперечного сечения:

  

 Уравнение равновесия части стержня, отсечённого на расстоянии z от края (рис. 9.47), записываем в виде:

   (9.149)

где  и  - напряжения в полках соответственно на вогнутой и выпуклой сторонах; Р – сжимающая сила; V – прогиб в сечении.

 Деформация в стержне:

 

 В частности, для полок двутавра получаем:

   (9.150)

 Вычитая деформации друг из друга, находим дифференциальное урав 170

нение изогнутой оси стержня:

  (9.151)

 Введём безразмерные прогиб и осевую координату:

 

 Тогда уравнения равновесия (9.149), (9.151) примут вид

  (9.152)

  (9.153)

где среднее напряжение в поперечном сечении стержня.

  Из уравнений (9.152) найдём:

  (9.154)

 Дифференцируя (9.152), (9.153) по t, получим:

  (9.155)

  (9.156)

 Подставив (9.154), (9.155) в (9.148), найдём для каждой из полок:

  (9.157)

 

 Подставив (9.157) в (9.156) и приняв n = 3, найдём:

  (9.158)

 Примем для определения прогиба выражение:

   (9.159)

 Разложив нелинейный член в (9.158) в ряд Фурье по синусам и приравняв нулю коэффициент при  получим:

  (9.160)

Здесь

  

 Разделив переменные и проинтегрировав (9.160) от  до  получим:

  (9.161)

 Здесь безразмерный мгновенный прогиб, определяемый из решения упругой задачи:

 

 Выражение (9.161) характеризует время, необходимое для достижения заданного прогиба при данном мгновенном прогибе  Критическая ситуация, характеризуемая исчерпанием несущей способности стержня и быстрым нарастанием прогибов, наступает при некотором критическом времени , когда  В этом случае из (9.156) следует:

   

 Если , то , т.е. наступает мгновенная потеря устойчивости. При  критическое время увеличивается. На рис. 9.48 а,б приведены зависимости безразмерного прогиба  от времени t для и критического времени tкр от безразмерного параметра нагрузки . В расчётах было принято  

 При  прогибы стержня неограниченно увеличиваются.

 При линейной неограниченной ползучести (n = 1) вместо уравнения (9.158) получаем:

   

Приняв прогиб V* в той же форме (9.159), имеем:

 

а после интегрирования:

   

 Следовательно,  при т.е. бесконечно большой прогиб реализуется в течение бесконечно большого времени, иными словами, в

 условиях неограниченной ползучести конечного, отличного от нуля предела длительной устойчивости не существует.

 а) б)

 Рис. 9.48 

Г) Треугольник

а) равнобедренный (рис. 13) б) прямоугольный (рис. 14)

  (24)  (26)

  (25)  (27)

Д) Эллипс (рис. 15)

 (28)   (29)  (30)


4. Моменты инерций простых составных сечений

Сложные сечения для вычисления моментов инерций обычно разбиваются на отдельные простые элементы, моменты инерций которых известны или могут быть вычислены по формулам (18)-(30).

Момент инерции сложного сечения равен алгебраической сумме моментов инерций составляющих его частей:

  (31)

Зависимость справедлива для всех моментов инерций (осевых, полярных, центробежных).

Задача 2в. Для каждой пары сечений, имеющих одинаковые площади Требуется: 1. Найти и сравнить положения главных центральных осей. 2. Найти и сравнить величины главных центральных моментов инерции.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений