Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 2а. Определение геометрических характеристик сечения, имеющего одну или две оси симметрии Требуется: 1. Найти положение центра тяжести. Если же оно известно без расчета, то обосновать его положение. 2. Показать главные центральные оси и обосновать их положение. 3. Вычислить главные центральные моменты инерции и осевые моменты сопротивления.

Устойчивость плоской формы изгиба балок

 Балка, изогнутая в своей плоскости, может потерять устойчивость своей плоской формы изгиба при некотором критическом значении внешней нагрузки и выпучиться в сторону (рис. 9.51). При этом поперечное сечение балки повернётся, т.е. балка будет испытывать изгиб с кручением.

  Рассмотрим свободно опёртую балку длиной , изгибаемую по концам моментом m (рис. 9.51,а). В докритическом состоянии дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид:

  (9.162)

 Интегрируя дважды, получим:

 

 

 

 Рис. 9.49

 Так как при z = 0, прогиб V = 0, то  и потому

  

 Максимальное значение прогиба:

 

 На рис. 9.50 показан график зависимости Vмах = f от значений момента m.

 Кружочек отвечает моменту появления пластических деформаций (пределу пропорциональности mпц), сплошной кружочек – предельному моменту mпред, при котором происходит образование пластического шарнира и исчерпание несущей способности балки, тонкая линия соответствует упругопластическому поведению балки.

 Если сечение балки узкое (высокое), как у полосы или двутавра

(рис. 9.47), то при некотором критическом значении изгибающего момента mкр. произойдет бифуркация решения, и балка получит боковое выпучивание с закручиванием.

 Рис. 9.50

.

 Пусть угол  характеризует наклон изогнутой оси балки в плоскости x – z при боковом отклонении, а  - угол закручивания в некотором произвольном сечении z. Представим момент M = m в сечении в виде вектора  по правилу правого винта (буравчика). Тогда, проецируя на оси x/, y/, z/, отнесённые к сечению (рис. 9.51,г), получим:

 

Следовательно, дифференциальные уравнения изгиба и кручения принимают вид

  

где учтена малость величин U, V,  

 Для прямоугольника:

  

 

 Первое уравнение совпадает с (9.162) и описывает докритический изгиб после точки бифуркации А.

 Дифференцируя третье уравнение по z и исключая с помощью второго уравнения производную  получаем:

  

  (9.163)

где 

  (9.164)

Общее решение уравнения (9.163) имеет вид

  (9.165)

Удовлетворяя (9.165) граничным условиям:

 при 

получим  (9.166)

 Если положим в (9.166) C1 = 0, то получим тривиальное решение, при котором балка не получает бокового выпучивания. Если  то откуда и, согласно (9.159), находим:

  

 Более трудным оказывается решение задач о плоской форме изгиба при поперечном изгибе. Так, для консольной балки, нагруженной поперечной силой, имеем:

  

При изгибе шарнирно опёртой балки длиной  силой Р, приложенной посередине пролёта, имеем:

   

а при действии распределённой нагрузки q:

 

Алгоритм расчета геометрических характеристик плоских сечений

При анализе геометрических характеристик плоских сечений любой сложности важнейшей задачей является определение положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сечений.

Можно рекомендовать следующий порядок определения положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сложного профиля, состоящего из простых частей, характеристики которых либо известны, либо легко определяются.

Проводим произвольную прямоугольную систему осей z, y. Разбиваем фигуру на простые части, геометрические характеристики которых представлены в сортаменте, либо могут быть вычислены по элементарным формулам, и определяем по (2), (3) положение её центра тяжести zc, yc.

Для самостоятельной проверки правильности, определения координат центра тяжести сложного сечения делается проверка, согласно которой вычисляются статические моменты всего сечения относительно осей zc и yc. Должны иметь место равенства   и  в пределах точности производимых вычислений.

Проводим систему центральных осей zc, yc, таким образом, чтобы наиболее просто можно было вычислить моменты инерции частей фигуры относительно этих осей. Для этого определяем моменты инерции частей фигуры относительно собственных центральных осей, проведенных параллельно осям zc, yc, используя при этом формулы перехода к параллельным осям (5)-(7). Суммируя, получаем значения , , .

Определяем по (8) положение главных центральных осей. Положительный угол a0 откладывается против хода часовой стрелки, отрицательный - по ходу часовой стрелки.

По формулам (9), (10) определяем значения главных центральных моментов инерции  и , причем ось, относительно которой имеет место максимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой u (Imax=Iu), а ей перпендикулярную ось, относительно которой имеет место минимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой v (Imin=Iv).

Для самостоятельного контроля правильности решения задачи на данном этапе делаются следующие проверки:

а) по формуле (11) определяется центробежный момент инерции относительно главных центральных осей , который согласно определению должен быть равен нулю, Iuv=0.

б) по формулам (12), (13) также могут быть определены главные центральные моменты инерции сложного сечения Iu, Iv.

в) согласно (14) должно удовлетворяться равенство:

Для определения моментов сопротивления сложного сечения по формулам (15), (16) необходимо определить точки, наиболее удаленные от главных центральных осей, координаты которых относительно главных центральных осей umax и vmax могут быть определены по формулам перехода к повернутым осям (17), (18).

Для проверки, координаты точек, наиболее удаленных от главных центральных осей, могут быть определены и графически непосредственно с чертежа, выполненного в масштабе.

Для определения радиусов инерции производятся вычисления по формулам (19)-(22). При построении эллипса инерции от центра тяжести сечения по осям u и v откладываем в масштабе чертежа величины iv и iu каждый соответственно перпендикулярно своей оси. На этих отрезках, как на полуосях, строится эллипс инерции.

Задача 2в. Для каждой пары сечений, имеющих одинаковые площади Требуется: 1. Найти и сравнить положения главных центральных осей. 2. Найти и сравнить величины главных центральных моментов инерции.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений