Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 2а. Определение геометрических характеристик сечения, имеющего одну или две оси симметрии Требуется: 1. Найти положение центра тяжести. Если же оно известно без расчета, то обосновать его положение. 2. Показать главные центральные оси и обосновать их положение. 3. Вычислить главные центральные моменты инерции и осевые моменты сопротивления.

Энергетический метод определения критических нагрузок

 Энергетический метод представляет собой один из способов определения критических нагрузок. Пусть согласно методу проб Эйлера сжатый силами Р стержень не вернулся в исходное состояние равновесия (рис. 9.51).

 а) б) 

 Рис. 9.51

 При этом подвижная шарнирная опора переместится на величину так, что сила Р совершит работу  а стержень выпучится (изогнётся). Энергия изгиба:

   

 Учитывая, что  получим:

  (9.167)

 Рассмотрим элемент стержня ВС = dz. Этот элемент к моменту потери устойчивости уже сжат, и при упругом изгибе его длина не меняется. После изгиба элемент ВС займёт положение В/С/ = dz. Поэтому укорочение стержня ВС по направлению z будет:

  

 Сближение концов стержня при потере устойчивости:

   (9.168)

 Работа, совершаемая силой Р, определится соотношением:

 

 Приравнивая выражение (9.167), (9.168), получим:

  (9.169)

 Если точная функция прогибов стержня известна, то значение критической силы находится просто. Для шарнирно опёртого стержня  что даёт известную формулу:

   

 В общем случае функция прогибов V неизвестна, и её задают приближённо. Пусть, например, в той же задаче  

Тогда

 

 Как видно, при приближённом задании прогиба, удовлетворяющем граничным условиям, критическое значение силы больше, чем при точном задании прогиба.

 Можно показать в общем случае, что по сравнению со всеми функциями прогиба V(z), удовлетворяющим граничным условиям, истинная функция прогиба даёт минимальное значение Ркр.

 Пример. Найти критическую силу для сжатой колонны (рис. 9.54).

 Граничные условия для данной задачи имеют вид: 

  при z = 0. 

 Примем для прогиба выражение:

   (1)

удовлетворяющее граничным условиям. Сохраним  в (1) два члена ряда:

  (2)

 После подстановки выражения прогиба (2) в (9.164) и интегрирования, получим:

 Рис. 9.52 

  (3)

 Если выражение прогиба положим С1= 0, т.е. сохраним только один член, то найдём минимальное значение силы Р, равное:

  

что даёт погрешность по отношению к точному значению  равную 21,6%.

 При двух значениях постоянных С0, С1 минимальное значение Р найдём, дифференцируя (3) по С1/С0 и приравнивая выражение к нулю:

 

или

 

откуда

  или 

 Наименьшее значение критической силы даёт первый корень:

   ,

что отличается от точного решения только на 0,92 %.

б) Определим главные центральные моменты инерции Iu и Iv по формулам (12), (13):

Iu=Imax=3445,0 + 2585,6 = 6030,6 см4

Iv=Imin=3445,0 - 2585,6 = 859,4 см4

Максимальное расхождение составляет:

.

в) Должно удовлетворяться условие (14):

5607,6 + 1282,4 » 6029,8 + 856,0 » 6030,6 + 859,4

6890,0 » 6885,8 » 6890,0

Расхождение составляет:

.

5. Определение моментов сопротивления сечения.

Наиболее удаленными точками от осей u и v являются точки A и B:

 

17

для швеллера , т.к. оси z1 и y2 являются для швеллера главными центральными; для уголка  согласно решению примера 5 [7].

3) По формуле (8) Определяем угол a0 наклона главных центральных осей u и v относительно центральных осей zc, yc:

 

Поскольку угол a0 отрицательный, он откладывается по ходу часовой стрелки, а т.к. , то поворотом оси z на угол, меньший 45°, мы получим направление главной центральной оси u, относительно которой главный момент инерции максимален Iu=Imax.

Задача 2в. Для каждой пары сечений, имеющих одинаковые площади Требуется: 1. Найти и сравнить положения главных центральных осей. 2. Найти и сравнить величины главных центральных моментов инерции.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений