Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 2а. Определение геометрических характеристик сечения, имеющего одну или две оси симметрии Требуется: 1. Найти положение центра тяжести. Если же оно известно без расчета, то обосновать его положение. 2. Показать главные центральные оси и обосновать их положение. 3. Вычислить главные центральные моменты инерции и осевые моменты сопротивления.

Колебания упругих систем

 Колебаниями упругих систем называют их повторяющиеся, периодические движения, которые они совершают около своего статического положения равновесия.

  Поведение конструкций и машин при их колебательных движениях требует особого внимания инженеров. Известны случаи, когда строительные сооружения или машины, рассчитанные с большим запасом на статическую прочность, разрушались под действием сравнительно небольших периодически действующих сил вследствие резонанса, либо, так называемой, колебательной неустойчивости.

Степень свободы колеблющейся системы

  Колебания упругих систем принято различать по числу степеней свободы n. Для упругой системы с геометрическими (голономными) связями под числом степеней свободы понимается число независимых координат, определяющих положение системы.

 В случае кинематических (неголономных) связей число степеней свободы определяется числом независимых возможных перемещений.

 На рис. 10.1 приведены примеры систем с сосредоточенными массами, степень свободы которых определяется по числу независимых перемещений , этих масс. В этих примерах мы пренебрегаем массой, распределённой в элементах самой системы.

 Реальная система обладает бесконечным числом степеней свободы. Рассмотрим, например, балку на двух опорах (рис. 10.2). Ее можно разбить на любое число участков (в том числе и бесконечно малых d). Массу каждого участка можно сосредоточить в его середине. В зависимости от числа полученных сосредоточенных масс и количества их независимых перемещении мы можем легко подсчитать степень свободы системы. В пределе, когда число участков стремится к бесконечности, приходим к системе с бесконечным числом степеней свободы. В изображенном на рис. 10.2 случае n = 4.

 

 Рис. 10.1

 

 а) б)

 Рис. 10.2

 Таким образом, число степеней свободы системы определяется фактически выбором ее расчетной схемы т.е. степенью приближения, к реальной системе. Если, например, балка несет один сосредоточенный груз

(рис. 10.1,а), масса которого значительно превышает массу самой балки, то в расчетной схеме системы естественно пренебречь массой балки и считать n = 1.

Канонические уравнения колебания упругих систем

 с конечным числом степеней свободы

 Рассмотрим упругую систему, несущую несколько сосредоточенных масс (i = 1,2, …, i). Пусть хi - силы, приложенные к этим грузам в направлении их смещений (рис. 10.3).

 

 Рис. 10.3

 Тогда перемещения этих грузов в направлении приложенных сил по закону Гука и принципу независимости действия сил определяются по формулам:

  (10.1)

или в сокращённой записи

  (10.2) 

 Здесь - коэффициенты влияния, определяемые с помощью формулы Мора. Представим теперь, что наша система пришла в движение. Выясним природу сил  в этом случае. На сосредоточенную массу может действовать внешняя сила,зависящая от времени и, согласно принципу Даламбера, - сила инерции. Следовательно,

  (10.3)

 Здесь точки над  означают двукратное дифференцирование по времени. В свою очередь сила  может состоять из постоянной  (напри 182

мер, вес груза) и переменной  частей:

  (10.4)

Подставляя (10.3) в (10.2), получим форму записи уравнений движения упругих систем с конечным числом степеней свободы:

  (10.5)

которые называются каноническими уравнениями колебаний упругих систем. При исследовании колебаний различают собственные (свободные) и вынужденные колебания. Под собственными колебаниями системы понимают такие, которые она совершает при отсутствии внешнего силового воздействия, т.е. предоставленная самой себе. В этом случае  и колебания поддерживаются только упругими силами. Под вынужденными колебаниями упругой системы понимают такие, которые происходят под действием возмущающих сил .

4) Главные моменты инерции определяем по формулам (9), (10).

 

Проверки: а) По формуле (11)определяем центробежный момент инерции относительно главных центральных осей , который должен быть равен нулю:

Для проверки (или более точного построения эллипса инерции) могут быть отложены величины  и .

Задача 2в. Для каждой пары сечений, имеющих одинаковые площади Требуется: 1. Найти и сравнить положения главных центральных осей. 2. Найти и сравнить величины главных центральных моментов инерции.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений