Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 2а. Определение геометрических характеристик сечения, имеющего одну или две оси симметрии Требуется: 1. Найти положение центра тяжести. Если же оно известно без расчета, то обосновать его положение. 2. Показать главные центральные оси и обосновать их положение. 3. Вычислить главные центральные моменты инерции и осевые моменты сопротивления.

  Пример 2. Определить частоту собственных крутильных колебаний вала длиной  с диском массы m на конце (рис. 10.8,а).

 

 а) б) 

 Рис. 10.8

 Решение. Положение системы можно определить одним числом, углом поворота диска  Следовательно, система обладает одной степенью свободы.

  Согласно (10.1) имеем:

   (1)

 Силав данном случае есть момент инерции системы:

  (2)

где

 

момент инерции диска массой m и радиуса R.

 На основании (2) уравнение (1) принимает вид:

 

где

 

 Согласно рисунку (10.7,б) имеем:

 Поэтому

 .

 Пример 3. Определить частоты собственных колебаний балки с двумя сосредоточенными массами (рис. 10.9).

 а) б)

 Рис. 10.9. 

 Решение. Для определения частот собственных колебаний имеем уравнение (10.20), которое для n = 2 принимает вид:

  (1)

 Раскрывая определитель (1), получим:

   (2)

 На рис. 10.10 построены эпюры моментов от единичных сил:

 а) б)

 Рис. 10.10

 Согласно формуле Мора (7.18) имеем:

 

 Если принять , то из (2) получим:

 

причем Таким образом, система имеет две собственные частоты колебаний,

  Полагая в (10.19) , получим . Полагая  найдем . В первом случае массы колеблются в одной фазе (рис. 10.9,а), во втором случае - в противо-фазе.(рис.10.9.б).

 В общем случае колебания с частотами  и происходят одновременно. Закон движения в этом случае (каждой массы) будет:

  (3) 

где А, В, постоянные, определяемые из начальных условий.

Для проверки правильности определения координат центра тяжести, вычислим статические моменты относительно центральных осей zc и yc, которые должны быть равны нулю.

Получаем:

2) Вычислим осевые и центробежный моменты инерции всего сечения в системе центральных осей zc, yc по формулам (5)-(7):

Введение

Прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций во многом определяются формой и размерами их поперечных сечений. В расчетной практике используются так называемые геометрические характеристики сечений.

Площадь сечения является одной из геометрических характеристик, используемых, главным образом, в расчетах на растяжение и сжатие. При расчетах на кручение, изгиб, а также на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и т.д.

Проектирование конструкций с оптимальными формами и размерами сечений является одним из путей снижения веса и стоимости машин и сооружений.

Раздел сопротивления материалов "Геометрические характеристики плоских сечений" является одним из важнейших.

Данное пособие составлено с целью облегчения проработки студентами учебного материала по указанному разделу курса.

В сопротивлении материалов исследование вопросов прочности и жесткости реального объекта начинается с выбора расчетной схемы.

При выборе расчетной схемы вводятся упрощения в геометрию реального объекта. Основным упрощающим приемом является приведение геометрической формы тела к схеме бруса и оболочки.

На основании одной из основных исходных предпосылок сопротивления материалов - гипотезы плоских сечений (гипотезы Бернулли) "сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации" - рассматриваются плоские сечения (сечения плоскостью) различных частей бруса.

Задача 2в. Для каждой пары сечений, имеющих одинаковые площади Требуется: 1. Найти и сравнить положения главных центральных осей. 2. Найти и сравнить величины главных центральных моментов инерции.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений