Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 2а. Определение геометрических характеристик сечения, имеющего одну или две оси симметрии Требуется: 1. Найти положение центра тяжести. Если же оно известно без расчета, то обосновать его положение. 2. Показать главные центральные оси и обосновать их положение. 3. Вычислить главные центральные моменты инерции и осевые моменты сопротивления.

Вынужденные колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы. Резонанс.

  Возмущающие силы  представим в форме:

  (10.31)

где - круговая частота возмущающей силы.

В этом случае канонические уравнения движения примут вид

  (10.32) 

 В частном случае системы с одной степенью свободы  вместо (10.32) будем иметь:

   (10.33)

или

  (10.34)

 Решением уравнения (10.34) будет:

  (10.35)

где

  (10.36) 

Подставляя (10.35) в (10.34),найдем постоянную В:

  

откуда

  (10.37)

 Если учесть трение, то собственные колебания системы, определяемые в (10.35) первым слагаемым, со временем затухнут и для установившегося режима вынужденных колебаний будем иметь:

   (10.38)

 Величина В представляет собой амплитуду вынужденных колебаний. Максимальное перемещение:

  (10.39)

где

  (10.40)

коэффициент динамичности.

  Максимальное динамическое напряжение

  (10.41)

 При  имеем  

 Явление резкого увеличения амплитуды колебаний В и  при совпадении частот собственных колебаний и возмущающей силы носит название резонанса, а само совпадение частот:

   (10.42)

условия резонанса.

  Возвратимся к системе с n степенями свободы. Решение системы уравнений (10.32) представим в виде

  (10.43)

 Подставляя (10.43) в (10.32), найдем:

   (10.44)

 Например, для системы с двумя степенями свободы (n = 2) получим:

  (10.45)

 Решение системы (10.44) имеет вид

   (10.46)

где определяется формулой (10.20), если заменить на  

 При  будем иметь:

  (10.47)

и поэтому амплитуды вынужденных колебаний  т.е. имеет место резонанс.

 В технике возмущающие силы бывают известны довольно редко. Обычно известна только их частота . Поэтому задача динамического расчета упругих систем сводится к определению собственных частот свободных колебаний с целью выявления возможности резонанса.

Сопротивление бруса различным видам деформации и разрушению в значительной степени зависит от размеров и формы поперечного сечения.

При изложении вопросов геометрических характеристик будем использовать систему координат, показанную на рис. 1.

Геометрическими характеристиками данного сечения являются: площадь F, статические моменты Sz, Sy, моменты инерции Iz, Iy, Ip, Izy,  моменты сопротивления Wz, Wy, Wp, радиусы инерции iz, iy, ip.


1. Площадь плоских сечений (фигур)

Площадь, ограниченная произвольной кривой, есть (рис. 2)

  (1)

Для вычисления геометрических характеристик сложных сечений, состоящих из простейших фигур, они разбиваются на конечное число n простейших частей (рис. 3). В этом случае

 (2)

Задача 2в. Для каждой пары сечений, имеющих одинаковые площади Требуется: 1. Найти и сравнить положения главных центральных осей. 2. Найти и сравнить величины главных центральных моментов инерции.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений