Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3а. Изгиб балки-консоли Для каждой из двух схем требуется: 1. Найти опорные реакции построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы: - для балки № 1 - прямоугольное с заданным соотношением h/b, - для балки № 1 - круглое. Материал обоих балок: древесина

 Пример 1. Определить низшую частоту собственных колебаний балки методом Релея, если вес единицы ее длины равен q (рис. 10.13).

 

 а) б)

 Рис. 10.13

 Решение. Найдем сначала приближенное выражение изогнутой оси балки. Для этого к концу балки приложим поперечную силу Р. Согласно методу начальных параметров, прогиб произвольной точки с координатой z будет:

 

или, так как  то

  (1)

 Вычислим потенциальную энергию согласно (10.56):

   (2)

 Знаменатель в формуле Релея (10.55) с учётом (1) будет равен:

  (3)

поэтому, согласно (2), (3) и (10.55) имеем:

   

 Точное решение этой же задачи есть:

 

 При m1 = 0 легко подсчитать ошибку приближённого решения. Она составляет всего 1,5%.

 Пример 2. Определить методом Релея низшую частоту собственных колебаний системы, состоящей из стержня и присоединенной к ней массы m. Масса стержня равна M (рис. 10.14).

 

 Рис. 10.14

 Решение. Примем для перемещения поперечного сечения стержня выражение:

   (1) 

 Согласно (10.57) с учётом (1), получим:

  (2)

 Знаменатель в формуле (10.55):

  (3)

 Подставляя (2) и (3) в формулу Релея (10.55), найдём:

  

где  - масса стержня. Величина  носит название приведенной массы. Коэффициент - коэффициент приведения массы. Он показывает, какую часть массы стержня нужно присоединить к сосредоточенной массе m чтобы свести упругую систему к системе с одной степенью свободы. Если масса стержня   то

 

Пример 4. Определить усилия в стержнях системы, возникающие в результате поворота двухсторонней винтовой стяжки <<С>> на угол . Жесткость стяжки равна жесткости третьего стержня (рис. 7).

Дано: E1=E2=E3=E, F1=2F3=2F2=2F; шаг винтовой нарезки гайки- h; l1=l.

Решение:

Статическая сторона задачи.

Составляем уравнения равновесия узла А (рис. 7, в). Учитывая симметрию относительно оси Y, имеем:

 

начале исходя из силовой схемы составляются уравнения равновесий. 

Для определения неизвестных сил, число которых превышает число уравнений равновесия, составляются дополнительные уравнения. Они называются уравнениями перемещений или деформаций и составляются исходя из принципа совместности деформирования всех элементов системы. Поэтому их часто называют уравнениями совместности деформаций. Принцип совместности деформирования выражает условие, заключающееся в том, что конструкция должна деформироваться без разъединения и непредусмотренного взаимного перемещения отдельных ее звеньев.


Для облегчения записей уравнений перемещений строят схему деформаций всех упругих элементов или схему деформированной системы. Для любой статистически неопределимой системы всегда можно составить столько дополнительных уравнений, сколько раз система статически неопределима.

В силу различной взаимозависимости элементов, различия накладываемых связей и условий деформирования, уравнения совместности деформаций систем записываются по разному. Но все они выражают соотношения деформаций (перемещений) отдельных упругих элементов системы. Например, на схеме, на рис. 3, в.

а на рис. 3, г. 

т. к. весь стержень не может не удлиниться, ни укоротиться. На схеме (рис. 3, а) можно установить геометрическое соотношение деформаций стержней 1, 2 и 3.

После получения указанных геометрических соотношений величины абсолютных изменений, длины стержней заменяют по закону Гука их выражениями через усилия :

Полученные таким образом уравнения, содержащие в качестве неизвестных продольные силы, и являются дополнительными уравнениями. Они включают также показатели жесткости отдельных звеньев конструкции, вводя тем самым зависимость распределения сил внутри системы от жесткости ее элементов. Вместе с уравнениями статистики общее число уравнений равно числу неизвестных сил. Решая 


  (d)

где 

Подставляя все в (d), получим

33.811,2=33.811,2;

т. е. равенство (d) удовлетворяется.

Задача 3г. Для балки с двумя консолями требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать двутавровое сечение. 3. Вычислить прогибы на конце каждой консоли и в середине пролета. По найденным величинам построить изогнутую ось балки и выполнить проверку жесткости, если допускается величина прогиба [y] = 1/200l, где l - длина прогиба балки.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений