Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3а. Изгиб балки-консоли Для каждой из двух схем требуется: 1. Найти опорные реакции построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы: - для балки № 1 - прямоугольное с заданным соотношением h/b, - для балки № 1 - круглое. Материал обоих балок: древесина

Колебания упругих систем при действии ударной нагрузки

  Ударными, или импульсивными, нагрузками будем называть такие, которые действуют в течение весьма короткого промежутка времени. Если он значительно меньше периода собственных колебаний упругой системы, то за время действия ударной нагрузки не произойдет заметных перемещений ее точек или масс, но они приобретут некоторые конечные скорости

 Расчет упругих систем на ударную нагрузку можно разбить на два этапа:

 1. Определение скоростей, которые получат точки системы сразу после удара.

 2. Изучение свободных колебаний системы после удара при заданном распределении начальных скоростей.

 Ударное нагружение происходит тогда, когда по упругой системе ударяет масса, движущаяся с некоторой скоростью .

 Будем рассматривать в дальнейшем только неупругий или неосвобождающий удар, когда ударяющее тело не отскакивает от упругой системы, по которой совершается удар, а «прилипает» к нему и совершает вместе с ним как единое целое колебательное движение. Будем считать также, что конфигурация системы при ее движении после удара считается заранее известной и неизменной.

  Удар по конструкции вертикально движущимся телом

 Для наглядности рассмотрим не произвольную упругую систему, а тяжелую балку (рис. 10.19,а), на которую с высоты h падает груз массой М. Выберем у балки точку С, в которой происходит удар, за точку приведения массы и заменим балку с распределенной массой  (q - вес единицы длины балки,  ускорение свободного падения) балкой с одной приведенной массой  (рис. 10.19,б) заменим упругую систему с бесконечным числом степеней свободы на систему с одной степенью свободы. Обозначим через:

   (10.69)

статический прогиб балки, соответствующий точке С в системе с приведё-нной массой, жёсткость балки.

 Пусть скорость падающего тела в момент удара, а   - скорость приведённой массы и «прилипшего» к нему падающего тела сразу после удара. Если груз падает с высоты h, то . Из условия сохранения количества движения системы имеем:

 

откуда

  (10.70)

 

 Рис. 10.19

 Скорость v будет, с другой стороны, начальной скоростью объединенной массы (М + m0) в ее колебательном движении после удара (2-й этап).

 Пусть  статический прогиб балки в точке С от веса падающего груза Mg, т.е.

  (10.71)

 Тогда полный статический прогиб:

  (10.72)

 После удара начнётся колебательное движение упругой системы. По закону сохранения энергии сумма кинетической и потенциальной энергии системы при максимальном отклонении от статического положения равновесия перейдёт в потенциальную энергию деформации упругой системы:

  ,

где  динамическое перемещение после удара,

 ,

т.к.  по закону Гука; с – жёсткость упругой системы.

В результате получаем уравнение:

  

или, с учётом (10.70) – (10.72):

 

 Решая полученное квадратное уравнение, находим:

 

где

  (10.73)

динамический коэффициент.

 В частности при внезапном ударе (n = 0) имеем kдин = 2.

 Можно иначе определить динамический коэффициент. Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы после удара будет:

 

или

  (10.74)

где

  (10.75)

 Решением уравнения (10.74) будет:

  (10.76)

где

  

 Закон движения (10.76) представлен на рис. 10.20.

 

 Рис. 10.20

 Начальные условия колебательного движения системы после удара

  при  (10.76)

 Удовлетворяя решение (10.76) этим условиям, найдем:

 

или

 

откуда находим:

  (10.77)

 Найдем теперь максимальное отклонение системы от исходного состояния в ее колебательном движении:

   (10.78)

Соотношение (10.78) можно записать

   (10.79)

где

  (10.80)

коэффициент динамичности. Он показывает во сколько раз прогиб от удара больше прогиба при статическом приложении того же груза.

 Если , то  В этом случае динамический

коэффициент (10.80) принимает вид:

  (10.81)

Выражение (10.80) совпадает с (10.73) при

 По закону Гука

 

 Следовательно, максимальное напряжение

   (10.82)

где напряжение в балке до удара груза  статическое напряжение от груза  При  имеем

 Удар по конструкции горизонтально движущимся телом

Рассмотрим теперь удар по конструкции горизонтально движущимся со скоростьютелом с массой М (рис. 10.21).

 В этом случае

 

 а) б)

 Рис. 10.21

  (10.83)

  (10.84)

 

 Закон движения:

 

представлен на рис. 10.21,б.

  Зная можно всегда найти в упругой системе возникающие динамические напряжения.

ПРИМЕР 3: Определить момент инерции сечения, показанного на  рис. 16, относительно оси симметрии, a=10 см.

Решение: Разбиваем заданное сечение на простейшие элементы: I - Равнобедренный треугольник, II - прямоугольник, III - круг.

Момент инерции сложной фигуры относительно оси z согласно формуле (31):

 .

Определяем моменты инерции слагаемых простейших элементов: для равнобедренного треугольника согласно формуле (25): ; для прямоугольника согласно формуле (18): ; для круга согласно формуле (20): .

Окончательно получим: 

Iz=4,0a4+10,67a4-0,0491a4=14,6a4=14,6×104=1,46×105 см4.


ПРИМЕР 4: Определить момент инерции симметричного сечения, показанного на рис. 17, относительно вертикальной оси симметрии y. Двутавр №10 (ГОСТ 8239-56).

Швеллер №5 (ГОСТ 8240-56).

Решение: Разбиваем исходное сечение на простейшие элементы, моменты инерций которых приводятся в справочниках: I - двутавр, II и III - швеллеры.

По сортаменту на стандартные прокатные профили имеем:

Для двутавра №10 (ГОСТ 8239-56) (рис. 18): H=10 см, B=7 см, F=14,2 см2, Ix=244 см4, Iy=35,3 см4.

Для швеллера №5 (ГОСТ 8240-56) (рис. 19): h=5 см, b=3,7 см, F=6,90 см2, Ix=26,1 см4, Iy=8,41 см4, x0=1,35 см.

Момент инерции сечения относительно оси y согласно (31)

т.к. оба швеллера расположены идентично относительно оси y. Для двутавра .

Для швеллера  сортам.=26,1 см4.

Окончательно имеем: .

Задача 3г. Для балки с двумя консолями требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать двутавровое сечение. 3. Вычислить прогибы на конце каждой консоли и в середине пролета. По найденным величинам построить изогнутую ось балки и выполнить проверку жесткости, если допускается величина прогиба [y] = 1/200l, где l - длина прогиба балки.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений