Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3а. Изгиб балки-консоли Для каждой из двух схем требуется: 1. Найти опорные реакции построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы: - для балки № 1 - прямоугольное с заданным соотношением h/b, - для балки № 1 - круглое. Материал обоих балок: древесина

Продольные колебания стержня

 Перейдем теперь к изучению колебаний упругих систем с непрерывно распределенной массой, т.е. к системам с бесконечным числом степеней свободы. Простейшим примером такой системы является однородный стержень (рис. 10.22), в котором возбуждены продольные колебания, например, ударом по его концу.

 Пусть плотность материала. Тогда масса элемента стержня длиной dz равна:

  (10.85)

 Осевое перемещение сечения:

 

является функцией двух аргументов – координаты произвольного сечения z и времени t.

 

 Рис. 10.22

Используя принцип Даламбера, напишем уравнение движения элемента стержня:

 

или, с учётом (10.85),

   (10.86)

 Поскольку

   (10.87)

то, исключив с помощью (10.87) из (10.86) усилие N, находим уравнение:

  (10.88)

где

  (10.89) 

 Уравнение (10.88) называется волновым уравнением. Оно описывает динамические процессы в стержне, такие как распространение волн и колебания. Величина С называется скоростью распространения упругой волны. Для стали С = 4900 м/с, для алюминия С = 5100 м/с.

 Решение уравнения (10.88) ищем в виде:

  (10.90)

Подставляя (10.90) в (10.88), получим:

  (10.91)

или, после разделения переменных:

 

откуда для функций T(t), Z(z) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:

  (10.92)

  (10.93)

Общий интеграл уравнения (10.92):

  (10.94)

откуда видно, что  это круговая частота свободных колебаний.

 Общий интеграл уравнения (10.93) имеет вид:

  (10.95)

Постоянные с1, с2 находятся из граничных условий на концах стержня.

 Пусть, например, стержень закреплен неподвижно на нижнем конце и свободен на верхнем (рис.10.23,а).

 а) б)

 Рис. 10.23

При Z = 0 имеем W = 0, следовательно, Z = 0, а при z =  

Тогда получаем:

  (10.96)

 Если с1 = 0, то колебания отсутствуют. Если  то

и тогда:

  (10.97)

 Стержень имеет бесконечное множество частот собственных колебаний. Низшая частота или частота основного тона имеет место при

n = 1:

  (10.98)

 Рассмотрим теперь колебания стержня, у которого один конец защемлён, а другой несет груз массы М (рис. 10.23,б). На закрепленном конце при Z = 0 по-прежнему имеем Z = 0, из (10.95) следует с2 = 0.

 На свободном конце с прикрепленной массой М на основании прин 208

 ципа Даламбера имеем:

  (10.99)

или с учетом (10.40), (10.92):

   (10.100)

 Подставляя (10.95) при с2 = 0 в граничное условие (10.100), находим:

  (10.101)

 Если с1 = 0, никаких колебаний нет. Если  то колебания есть. Для удовлетворения условия (10.102) следует приравнять нулю квадратную скобку. В результате находим:

   (10.102)

где через  обозначена масса стержня. Решение уравнения (10.102) можно найти графически (рис. 10.24). Для этого необходимо найти точки пересечения двух функций:

   (10.103) 

При малых частотах, когда  малая величина, уравнение (10.102) упрощается:

   (10.104)

откуда следует:

  (10.105)

Этот результат соответствует задаче, когда массой стержня m можно пренебречь по сравнению с массой Мгруза.

  Рис. 10.24

 Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в разложении  в уравнении (10.102) два слагаемых:

 

Тогда получим:

 

откуда

  (10.106)

 При больших значениях  гипербола проходит близко к оси абсцисс, а точка пересечения с тангенсоидой мало отличается от  Следовательно,  

Основные положения. Связи необходимые и дополнительные.

Статически неопределимыми называются брусья и системы, внут­ренние усилия в которых нельзя определить при помощи одних лишь уравнений равновесия.

В машиностроении и строительных конструкциях такие системы на­ходят широкое применение.

В одних случаях статическая неопределимость является сущностью самой конструкции.

Примерами таких конструкций могут быть: армированные уголками стойки (рис. 1, а); панель крыла самолета, состоящая из обшивки 1 с продольными ребрами 2 (рис. 1, б); составной цилиндр, полученный пу­тем напряженной посадки двух труб из различных материалов (рис. 1, в).

В других случаях, с целью повышения жесткости и надежности сис­темы, вводятся дополнительные связи сверх тех минимально необходи­мых, которые обеспечивают ее кинематическую неизменяемость. Нало­жение на систему дополнительных связей превращает ее в статически неопределимую. Напомним, что кинематическая неизменяемость пло­ской системы обеспечивается тремя, а пространственной – шестью свя­зями.

 Все статически неопределенные конструкции имеют дополнитель­ные или, так называемые, «лишние» связи в виде закреплений стержней или других элементов. Лишними такие связи называются только потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конст­рукции и ее геометрической неизменяемости, хотя постановка их дикту­ется условиями эксплуатации. По условиям прочности и жесткости кон­струкции лишние связи могут оказаться необходимыми.


 

 а) б) в) 

 

Рис. 2

На рис. 2 приведены схемы 3-х плоских систем с «лишними» связями: а – стержневой подвески; б – стержня, закрепленного обоими концами; в – стержневого кронштейна. В схеме, показанной на рис. 2, в, вся система состоит из упругих звеньев. Подсчет числа наложенных связей произво­дится в этом случае следующим образом. Каждый стержень связан с опорной поверхностью двумя связями. Всего таких связей 8. Шарнир, соединяющий концы стержней, снимает связи, ограничивающие относи­тельный или взаимный их поворот. При соединении двух стержней од­ним шарниром снимается одна связь, трех стержней – две связи, четырех – три и т.д. В данном случае снимаются три связи. Следовательно, всех связей, наложенных на эту систему оказывается пять, две из которых мо­гут считаться «лишними».

Задача 3г. Для балки с двумя консолями требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать двутавровое сечение. 3. Вычислить прогибы на конце каждой консоли и в середине пролета. По найденным величинам построить изогнутую ось балки и выполнить проверку жесткости, если допускается величина прогиба [y] = 1/200l, где l - длина прогиба балки.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений