Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3а. Изгиб балки-консоли Для каждой из двух схем требуется: 1. Найти опорные реакции построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы: - для балки № 1 - прямоугольное с заданным соотношением h/b, - для балки № 1 - круглое. Материал обоих балок: древесина

Поперечные колебания стержня

 Рассмотрим поперечные колебания балки постоянного сечения с площадью F (рис. 10.25). Участок балки длиной dz имеет массу где плотность материала. Воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси балки четвертого порядка статической задачи:

   (10.107)

 При рассмотрении динамической задачи мы должны считать, что прогиб v является функцией двух переменных z и t. Нагрузка q также должна зависеть от координаты z и времени t.Учитывая только инерционную силу  и используя принцип Даламбера, вместо (10.107) получаем дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки:

   (10.108)

 Как и в случае продольных колебаний, решение задачи ищем в виде:

  (10.109)

 Можно считать  Тогда после подстановки (10.109)

в (10.108), получим уравнение

  (10.110)


 Рис. 10.25

где

  (10.111)

 

 Решение уравнения (10.110) имеет вид

  (10.112) 

 Постоянные А, В, С, D находим из граничных условий на опорах:

  при z = 0,

  при  (10.113) 

 Из первых двух условий имеем B = D = 0. Из двух других находим:

  (10.114)

 

Приравнивая нулю определитель системы уравнений (10.114), получим:

  (10.115)

 Так как только при , то остаётся принять:

  

или, согласно (10.111),

   (10.116)

Из (10.114) при  и  следует с = 0. Таким образом, при изгибных колебаниях балки образуется бесконечное число частот собственных колебаний, пропорциональных n2, где n – число полуволн изогнутой оси балки. Прогибы балки:

  (10.117)

 При колебаниях в основном тоне балка изгибается по одной полуволне

( n = 1). При n = 2 имеем две полуволны, при n = 3 – три (рис. 10.25).

 Колебания балки в основном тоне (n = 1) можно использовать для определения динамического модуля упругости материала, из которого

изготовлена балка. Из (10.116) получаем:

  (10.118)

где  - частота колебаний.

Статически неопределимые конструкции характеризуются рядом осо­бенностей, по сравнению со статически определимыми системами. За­ключаются они в том, что в элементах статически неопределимых систем напряжения возникают не только от действия внешних сил, но и в ре­зультате изменения температуры, неточности изготовления деталей, не­точностей их сборки, смещения мест опорных креплений и ряда других причин. Объясняется это тем, что деформация одного 



Рис. 9

Решение

Статическая сторона задачи.

С учетом симметрии относительно оси Y имеем:

 ,

отсюда  a)

II. Геометрическая сторона задачи.

В результате термического расширения точка А переместится в А1 (рис. 9, б). Исходя из схемы деформированной конструкции можно составить условие совместности деформаций:

 b)

Задача 3г. Для балки с двумя консолями требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать двутавровое сечение. 3. Вычислить прогибы на конце каждой консоли и в середине пролета. По найденным величинам построить изогнутую ось балки и выполнить проверку жесткости, если допускается величина прогиба [y] = 1/200l, где l - длина прогиба балки.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений