Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3а. Изгиб балки-консоли Для каждой из двух схем требуется: 1. Найти опорные реакции построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы: - для балки № 1 - прямоугольное с заданным соотношением h/b, - для балки № 1 - круглое. Материал обоих балок: древесина

Теория сложного напряжённо-деформированного состояния (НДС) твёрдого тела

Напряжённое и деформированное состояние частицы тела.

 Теория НДС ставит своей задачей определение внутренних напряжений, деформаций и перемещений в различных точках деформируемого твёрдого тела произвольной формы и размеров. Отнесём тело к координатным осям x, y, z и выделим мысленно из него материальную частицу в виде параллелепипеда или кубика размерами dx, dy, dz (рис. 11.1)

 а) б)

 Рис. 11.1

Действия отброшенной части тела заменим векторами – напряжениями   и разложим их на составляющие по координатным осям.

  (11.1)

где единичные векторы, направленные вдоль координатных осей x, y, z;  нормальные напряжения,  касательные напряжения. У касательных напряжений первый индекс указывает на направление его действия, второй индекс – на нормаль к площадке, на которой оно действует. У нормальных напряжений индекс соответствует одновременно как направлению, так и нормали к площадке их действия. На невидимых на рис. 11.1 гранях частицы действуют такие же, но противоположно направленные напряжения.

 Совокупность указанных напряжений полностью характеризует напряжённое состояние частицы тела. Эту совокупность записывают в виде квадратной матрицы

  (11.2)

и называют тензором напряжений Коши. Система напряжений, приложенных к частице тела, должна удовлетворять условиям равновесия. Первые три условия в проекциях на оси x, y, z дают тождества, т.к. на противоположных гранях мы считаем напряжения равными по величине. Остаётся проверить, обращаются ли в нуль суммы моментов всех сил относительно координатных осей. Составим условие равновесия моментов относительно оси х:

  

откуда следует  Аналогично можно составить два уравнения равновесия моментов относительно осей y и z. В результате получим соотношения:

  (11.3)

 

которые называют законом парности касательных напряжений: на двух взаимно перепендикулярных площадках составляющие касательных напря-жений, ортогональные их общему ребру, равны по величине и направлены оба либо к ребру, либо от него. На основании этого закона тензор-матрица напряжений  является симметричной относительно главной диагонали, состоящей из нормальных напряжений.

 Напряжение

   (11.4)

называют средним напряжением. Тензор напряжений, для которого , называется тензором–девиатором напряжений. В общем случае тензор напряжений можно разложить на сумму двух тензоров:

 

Первый из них

  (11.5)

носит название шарового тензора напряжений, а второй:

  (11.6)

тензора–девиатора или просто девиатора напряжений.

 Иногда компоненты девиатора напряжений обозначают:

 

 Шаровой тензор характеризует напряженное состояние всестороннего растяжения – сжатия частицы тела, а девиатор – напряженное состояние её формоизменения.

 На каждую частицу тела кроме напряжений действуют объёмные силы:

 ,

где Rx, Ry, Rz – проекции этих сил на координатные оси. Каждая вектор- сила  действует на единицу объёма.

 На поверхности тела F на каждую единицу её площади могут действовать распределённые силы:

   ,

где qx, qy, qz – проекции этих сил.

  Если последние действуют на малых площадках контакта  поверхности тела, то их, согласно принципу смягчения граничных условий Сен- Венана, заменяют главными вектором и моментом  всех сил, действующих на этих малых площадках:

   

где радиус – вектор, проведённый из заданной точки (центра приведения сил) на  до текущей силы  

 В результате действия на тело внешних сил  температуры Т каждая точка В совершает перемещение  в новое положение В/. Это

перемещение характеризуется направленным отрезком , т.е. вектором перемещения:

   ,

где u, v, w – проекции этого перемещения на координатные оси.

 Перемещения  характеризуют деформацию тела в целом. Например, прогибы точек оси балки V и поворот поперечных сечений, проходящих через эти же точки, характеризуют деформацию балки в целом при её изгибе.

 Деформация тела складывается из деформации её материальных (физических) частиц, каждая из которых испытывает удлинения  в направлении её рёбер и искажения прямых углов:

  

между её гранями в каждой из координатных плоскостей (рис. 11.2).

 Величины

 

называют относительными удлинениями или деформациями частиц тела. Половины сдвигов обозначают:

 .

 

 Совокупность шести компонентов деформации полностью характеризует деформированное состояние частицы тела. Эту совокупность запишем в виде квадратной матрицы:

  (11.7)

и назовем тензором деформаций Коши.

 

 а) б)

 Рис. 11.2

 Величину

   (11.8)

называют средней деформацией.

  Если для рассматриваемого тензора деформация , то он называется тензором-девиатором или просто девиатором деформации.

 В общем случае  тензор (11.7) можно разложить на сумму двух тензоров:

 

 Первый из них:

  (11.9)

носит название шарового тензора деформации и описывает объёмную деформацию всестороннего растяжения – сжатия.

  Второй тензор:

  (10.10)

представляет собой тензор-девиатор и характеризует деформацию изменения формы частиц тела.

Физическая сторона задачи.

Крайние стержни 1 длиннее среднего стержня 2; кроме того, у край­них стержней коэффициент линейного расширения больше, чем у сред­него. По этой причине точка А у первых стержней опустилась бы ниже, чем точка А у второго стержня, если бы они деформировались отдельно. Но так как они в точке А связаны шарниром, то возникает силовое взаи­модействие боковых и среднего стержней. Боковые стержни, удлиняясь за счет термического воздействия, будут одновременно укорачиваться в результате действия возникающего усилия, средний же стержень будет удлиняться как за счет термического расширения, так и за счет механи­ческого действия на него крайних стержней.

Следовательно

 c)

 

За счет ввинчивания стержня 3 точки А и В сблизятся на величину , а за счет растяжения этого стержня и стяжки они разойдутся на величину  (рис. 8). Тогда, на основании схемы деформированной системы, ус­ловие совместности деформаций будет иметь вид:

 (с) 

Согласно закону Гука.

 ;  ;  (d)

Здесь l1=l2 по условию, a l2 и l3 можно определить из равенства проекций стержней на горизонтальную и вертикальную оси (рис. 7, а):

 

Подставляя (d) в (с), получим: (е)

Задача 3г. Для балки с двумя консолями требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать двутавровое сечение. 3. Вычислить прогибы на конце каждой консоли и в середине пролета. По найденным величинам построить изогнутую ось балки и выполнить проверку жесткости, если допускается величина прогиба [y] = 1/200l, где l - длина прогиба балки.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений