Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3а. Изгиб балки-консоли Для каждой из двух схем требуется: 1. Найти опорные реакции построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы: - для балки № 1 - прямоугольное с заданным соотношением h/b, - для балки № 1 - круглое. Материал обоих балок: древесина

Основные виды напряжённо-деформированного состояния (НДС)

  До сих пор мы рассматривли в основном простейшие виды НДС – растяжение – сжатие, плоский чистый сдвиг и их комбинацию (рис. 11.3).

 Они встречаются при растяжении и сжатии стержня и его кручении, а также при изгибе (рис. 11.4).

 

 а) б) в)

 Рис. 11.3

 Они встречаются при растяжении и сжатии стержня и его кручении, а также при изгибе (рис. 11.4). При растяжении и сжатии (рис. 11.4,а) осевая   и поперечные деформации  определяются законами Гука и Пуассона:

  (11.11)

 

 а) Растяжение б) Кручение

 в) Изгиб

 Рис. 11.4

При плоском чистом сдвиге (рис. 11.4,б) деформация сдвига

  (11.12)

 Часто на практике встречаются двухосное растяжение и его комбинация с чистым сдвигом (рис. 11.5).

 

 

 а) б)

 Рис. 11.5

В последнем случае состояние называют плоским напряжённым состоянием. Оно возникает в тонкостенных элементах конструкций, таких как плиты (пластины) и оболочки (рис. 11.6).

  При двухосном растяжении деформации в направлениях  и  могут быть найдены на основании законов (11.11) для одноосного растяжения. Представим  на основании принципа независимости действия сил (напряжений ) в виде суммы деформаций в каждом из направлений и  от этих сил:

  (11.13)

 

 а) б)

 Рис. 11.6

 Для плоского напряжённого состояния (рис. 11.6,б) с учётом (11.12) получаем:

  (11.14)

 

 При трёхосном растяжении (рис. 11.7,а) на основании законов (11.11) аналогичным образом получаем:

  (11.15)

 

 а) Трёхосное б) Плоская в) Объёмное напряжённое

  растяжение деформация состояние

 Рис. 11.7

 

 Если сложить соотношения (11.15), то получим закон упругого изменения объёма:

  (11.16)

где  – (11.17)

относительное изменение объёма,

   – (11.18) модуль объёмной деформации.

  На практике часто встречается напряжённое состояние, изображённое на рис. 11.7,б. Оно возникает в удлинённых телах со стеснённой в этих направлениях деформацией. Примером могут служить подпорная стенка, тело плотины, железнодорожный рельс и др. В этих случаях призматическое тело как бы зажато между двумя опорами, а нагрузка вдоль тела остаётся неизменной (рис. 11.8).

 

 а) б) в) г)

 Рис. 11.8

Произвольная точка А тела при деформации остаётся лежать в одной плос-кости, параллельной плоскости х, у. Напряжённое состояние отличается от плоского тем, что возникает напряжение . Соответствующее деформированное состояние тела носит название плоской деформации. Относительные деформации определяются соотношениями закона Гука, полученные использованием принципа независимости действия сил (напряжений). Накладывая на соотношения (11.5) при трёхосном растяжении плоский чистый сдвиг с напряжениями  получаем:

  (11.19)

 Характерным примером возникновения объёмной НДС могут служить контактные задачи. Например, задачи о контакте колёс вагона с рельсами, задача о вдавливании шарика в подшипнике, шаровой опоры в фундамент и др. (рис. 11.9,а).

 

 а) б)

 Рис. 11.9

 Кубик, опущенный в воду (рис. 11.9,б), будет испытывать всестороннее сжатие напряжениями 

 

где удельный вес воды.

 Другим близким примером могут служить полупространства, представляющие собой модель грунтовой среды. Слой грунта толщины z оказывает на нижележащие слои давление  , где  удельный вес грунта. Напряжения . Деформации  и согласно (11.12):

 

откуда

 

где

 

называется коэффициентом бокового давления среды. Если , то  и частица будет испытывать всестороннее сжатие, т.к.:

  .

 При этом изменение объёма  так как . Такая среда называется несжимаемой.

Определение неизвестных.

Решая систему, составленную из уравнений (а), (в) и (е), получим:

 

Пример 5. Определить усилия в стержнях системы, возникающие в результате повышения температуры всех стержней на Dt 0c. (рис. 9, а)

Дано: F1=F2=F; E1=0.5E; E2=E

  a2=aa1=1.2a; l1=l 


из элементов в статически неопределимой системе приводит к деформа­ции и других ее элементов. Например, если один из стержней системы (рис. 2, в) изготовлен по длине неточно, то соединение концов стержней одним шарниром возможно только путем деформации всех стержней.

Сила, возникающая при деформации одного из стержней, вызывает усилия в других стержнях, находящихся с ним в шарнирном соединении. Смонтированная система приходит в равновесие, следовательно, сово­купность сил системы обеспечивает ее равновесие. Эти силы вызывают соответствующие, называемые начальными, напряжения в стержнях.

В статически неопределимых конструкциях при изменении темпера­туры ее элементов по сравнению с температурой, при которой осуществ­лялась сборка, возникают дополнительные усилия и напряжения, кото­рые принято называть температурными.

Распределение усилий между элементами системы зависит от их же­сткости. Если увеличить жесткость какого- либо элемента, то он примет на себя большее усилие. Изменяя соотношение жесткостей элементов конструкций, можно менять распределение усилий между ними.

Эти особенности статически неопределимых конструкций должны учитываться при проектировании или применении таких систем.

Статически неопределимые системы обладают повышенной «живуче­стью». Разрушение одного или нескольких элементов (в зависимости от числа дополнительных связей) не вызывает потерю несущей способности конструкции в целом. Так разрушение даже двух стержней в системе, показанной на рис. 2 (в) не приводит к потере способности восприни­мать силу P оставшимися двумя стержнями, конечно, при условии их достаточной прочности.

Задача 3г. Для балки с двумя консолями требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать двутавровое сечение. 3. Вычислить прогибы на конце каждой консоли и в середине пролета. По найденным величинам построить изогнутую ось балки и выполнить проверку жесткости, если допускается величина прогиба [y] = 1/200l, где l - длина прогиба балки.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений