Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3а. Изгиб балки-консоли Для каждой из двух схем требуется: 1. Найти опорные реакции построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы: - для балки № 1 - прямоугольное с заданным соотношением h/b, - для балки № 1 - круглое. Материал обоих балок: древесина

Определение напряжений на произвольно ориентированной площадке

  Рассечём частицу тела около произвольной точки А (рис. 11.11) наклонной плоскостью, направление единичной нормали

  

к которой определено направляющими косинусами lх ,ly ,lz 

(рис. 11.11,а). В результате мы получили фигуру четырёхугольник, или тетраэдр. При уменьшении расстояния AN = h до нуля наклонная плоскость пройдёт через точку А. Обозначим площадь наклонной грани через dF, а площади координатных граней dFx, dFy, dFz. Вектор  на произвольно ориентированной площадке с нормалью и площадью dF разложим на составляющие:

  , (11.28)

где проекции напряжения на координатные оси.

 Проецируя все силы, действующие на тетраэдр, последовательно на оси x, y, z и сокращая на dF, получим:

  

 

 а) б)

 Рис. 11.11

Очевидно, что площади координатных граней:

 

Поэтому после сокращения на dF, получаем формулы

   (11.29)

называемые формулами Коши.

  Таким образом, проекции вектора напряжений на произвольно

ориентированной площадке с направляющими косинусами  выражается через шесть компонент напряжённого состояния, совокупность которых образует тензор напряжений. При помощи формул Коши (11.29) можно найти величину полного напряжения:

 . (11.30)

 Вектор напряжений  может быть разложен также на нормальную   и касательную составляющие:

   

где t – единичный вектор касательной. Тогда:

 .

 Выразим нормальное напряжение  через проекции  

вектора :

  (11.31)

и заменим эти проекции согласно (11.29). Получим формулу: 

 . (11.32)

Если единичный касательный вектор

  ,

то

  (11.33)

где направляющие косинусы вектора t, определяющие направление действия касательного напряжения .

 Подставляя в (11.33) вместо  их выражения (11.29), получаем:

  (11.34)

 В частном случае плоской задачи имеем (рис. 11.12):

 

 

Из (11.32), (11.34) находим: 

(11.35)

 

 Рис. 11.12

 

где использованы соотношения

  .

11.5. Главные оси и главные напряжения в плоских задачах

 Рассмотрим напряжённое состояние, характеризуемое тензором напряжений:

 

 Если , то напряжённое состояние называется плоским. Если , то напряжённое состояние соответствует плоской деформации. Найдём экстремальные значения нормального напряжения  для плоских задач.

 Дифференцируя выражение (11.35) для  по , и приравниваем полученный результат к нулю: 

   

откуда получаем:

  . (11.36)

 Из (11.36) находим два значения угла  и 

(рис. 11.13), определяющие два направления и две площадки, называемые главными.

 

 Рис. 11.13

Экстремальные значения напряжений  и  называются главными нормальными напряжениями. На главных площадках касательные напряжения отсутствуют. Поэтому третья площадка, на которой действует нормальное напряжение , будет также главной. Главным будет напряжение .

 Так как

  

то, с учётом (11.36) из (11.35), получаем значения главных нормальных напряжений:

  (11.37)

 

 Обычно принято главные напряжения нумеровать так, чтобы .

  В частном случае чистого сдвига  (рис. 11.4).

 

 Рис. 11.14

Из (11.37) получаем:

 В случае растяжения напряжениями  и чистого сдвига напряжениями имеем:

 

 Если частица отнесена к главным осям (рис. 11.15), то формулы (11.35) принимают вид

  (11.38)

 

Из (11.38) видно, что максимальное касательное напряжение по модулю возникает при т.е. на площадках, наклонённых к главным осям под углом . В этом случае

  (11.39)

 Рис. 11.15

 Как видно из (11.39), на площадке, где действует , нормальное напряжение   отлично от нуля и равно полусумме нормальных напряжений .

Раскрытие статистической неопределенности.

Операции по определению неизвестных силовых факторов в статически неопределимых системах принято называть раскрытием статической неопределимости. Производятся они следующим образом. В

отсюда  (а) 

Составляем уравнения равновесия узла B (рис. 7, с).

отсюда 

Тогда степень статической неопределенности подсчитывается так:

 S=3-2=1

Геометрическая сторона задачи.

При повороте гайки на угол  стержень 3, состоящий из двух частей, ввинтится в гайку на величину

Рис. 8


Степень статической неопределимости S=3-2=1. Исходя из схемы деформированного состояния, составляем условие совместимости деформаций:

  (в)

Строго говоря, удлинение Dl2 получится, если из точки В описать дугу радиуса l2, однако, в силу малости деформаций, Dl2 можно получить, опуская перпендикуляр из точки А на новое направление стержня l2.

В собранном состоянии угол между стержнями l2 будет меньше, чем 2j. Однако, в силу малости деформаций, изменение угла j отразится на 5 или 6 знаке косинуса, что несущественно.

Задача 3г. Для балки с двумя консолями требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать двутавровое сечение. 3. Вычислить прогибы на конце каждой консоли и в середине пролета. По найденным величинам построить изогнутую ось балки и выполнить проверку жесткости, если допускается величина прогиба [y] = 1/200l, где l - длина прогиба балки.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений