Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 4. Устойчивость сжатого стержня Для сжатой стойки двутаврового сечения требуется: 1. Найти грузоподъемность (допускаемую нагрузку [F]), указать недостаток этой конструкции. 2. Заменить двутавровое сечение новым сечением заданной формы, обладающим свойством равноустойчивости по главным плоскостям инерции и подобрать его размеры.

Кручение стержня эллиптического сечения.

 В качестве примера рассмотрим стержень эллиптического сечения

(рис. 11.35).

 

 а) б)

 Рис. 11.35

 Уравнение контура эллипса:

  

 Для функции напряжений примем выражение

  (11.123)

которое удовлетворяет граничному условию F = 0, на контуре сечения.

 Подставляя выражение (11.123) в уравнение Пуассона (11.120), получим:

 

 Крутящий момент, согласно (11.122), равен:

  

откуда

 .

 Напряжения (11.119):

  

 Полное напряжение (11.117):

 

или 

 Распределение напряжений показано на рис. 11.35,б. Максимальное напряжение имеет место на концах малой оси эллипса.

Кручение стержня прямоугольного сечения

 Рассмотрим сначала стержень узкого прямоугольного поперечного сечения (рис. 11.36,а).

 

 а) б)

 Рис. 11.36

 В этом случае будем пренебрегать выполнением граничных условий на коротких сторонах при  Примем функцию напряжений в виде

  (11.124)

 В таком виде граничное условие F = 0 на длинных сторонах при   будет удовлетворено.

 Подставляя предполагаемое решение в уравнение (11.120) Пуассона, получим . Напряжения (11.119):

 

 Полное напряжение (11.117):

  (11.125)

где

 r = 2x.

  Крутящий момент Мz (11.122):

  (11.126)

где

  (11.127)

 Из (11.125), (11.126) следует:

   (11.128)

 Максимальное напряжение имеет место в середине длинной стороны сечения, где rmax = b (x = b/2):

  (11.129)

где

  (11.130)

- момент сопротивления узкого прямоугольного сечения.

 Пусть теперь отношение сторон h/b одного порядка. Решение уравнения Пуассона представим в виде:

 , (11.131)

где первое слагаемое представляет его частное решение, а второе – решение однородного уравнения Лапласа  в форме Фурье. На контуре сечения F = 0.

 Поэтому граничные условия можно записать в виде:

  (11.132)

 Подставляя (11.131) в уравнение Пуассона (11.120), получим:

 

откуда, разделяя переменные:

 

или

 .

 Решения этих уравнений имеют вид:

 

 Удовлетворяя полученное решение граничным условиям (11.132) и учитывая симметрию функций X(x), Y(y) относительно осей х, у, получим, что А = 0, С = 0,  откуда следует  где

i = 1,2,3,….

 В результате функция F принимает вид

 .

 Далее, согласно (11.122), вычисляем:

    (11.133)

 274

где

  (11.134)

 Напряжения (11.119):

 

где

  (11.136)

 

или

  (11.137)

а величина r1, r2  определяются согласно (11.136).

 Наибольшее значение  имеет место при h > b в середине длинной стороны при . В этом случае r1 = 0, rxz = 0, rmax = r2max,

   (11.138)

где

 

- геометрический момент сопротивления кручению,

  (11.140)

 Для практических расчётов достаточно взять i = 1, т.е. сохранив в рядах одно слагаемое.

 Для вычисления  в середине короткой стороны следует принять в (11.136)  . В результате получим  

  (11.141)

 Значения коэффициентов  в зависимости от отношения сторон h/b приведены в табл. 3.1 главы 3.

 Таким образом, мы показали, что задача о кручении стержня прямоугольного сечения может быть решена строгими методами теории упругости, что отмечалось в параграфе 3.4.

Привод механизма арретирования с шаговым электродвигателем.

Привод механизма арретирования предназначен для передачи движения силовому звену арретира, обеспечивающему наложение механических связей на степени свободы элементов подвеса гироскопа или платформы гиростабилизатора. Механизм арретирования представляет собой электромеханическое устройство (рис.2), состоящее из электромагнита 8, храпового механизма 7, 9, 10, механической передачи, кулачкового механизма и электрических элементов коммутации цепей.

Шаговый механизм состоит из электромагнита 8 и храпового механизма (элементы 7, 9 и 10). Электромагнит 8 шагового механизма отрабатывает импульсы определенной частоты, подаваемые на обмотку электромагнита, и обеспечивает возвратно-поступательное движение якоря и связанной с ним собачки 10, которая находится в зацеплении с храповиком 9. При движении толкающей собачки 10, последняя поворачивает храповик 9 (на один зуб при подаче одного импульса), а вместе с ним и вал червяка 13. Стопорная собачка 7 исключает поворот храповика 9 с валом в обратную сторону при возвращении якоря с толкающей собачкой 10 в исходное положение (при отсутствии импульса). Далее движение передается от червяка 13 и на червячное колесо 3 и кулачок 11, а также на выходное звено кинематической передачи – коромысло 6, закрепленное неподвижно на валике, вращающимся в опорах 5. На этом валике установлена муфта 14, которая соединяется с арретирующим устройством гироскопа. На валу червячного колеса установлены два кулачка 2, положение которых на валу может регулироваться и тем самым устанавливаться моменты замыкания и размыкания контактных пар. Эти кулачки управляют контактными парами 1, коммутирующими электрические цепи управления. Силовое замыкание коромысла 6 и кулачка 11 обеспечивается с помощью пружины 12, закрепленной одним концом на корпусе 4 механизма.

DSC00464.jpg

Рисунок 2. Механизм арретирования.

Библиографический список 1. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности / под ред. Г.С. Варданяна. -М.: Изд-во АСВ, 1995.-568 с. 2. Соколов, О.Л. Сопротивление материалов а примерах и задачах: учебное пособие / О.Л. Соколов, В.А. Шапкина. - Вологда: ВоГТУ, 2011. - 148 с. 3. Соколов, О.Л. Механика твердого деформируемого тела и грунтов: учебное пособие / О.Л. Соколов. - Вологда: ВоГТУ, 2002. - 177 с. 4. Дарков, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. - М: Высшая школа, 1989. - 624 с.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений