Курс сопротивления материалов. Примеры

Прочность как один из основных показателей качества. Системность работ по обеспечению прочности. Прочность и безопасность конструкций. Требования к квалификации инженеров в области прочности в современных условиях. Учебный курс - "алфавит" науки о прочности и введение в механику деформирования и разрушения

Расчет на прочность простейших статически неопределимых балок методом допускаемых нагрузок

 Рассмотрим простейшую статически неопределимую балку

(рис. 6.13,а).

 Рис. 6.13 

Расчет на прочность по допускаемым напряжениям состоит в том, чтобы найти   и потребовать. Для этого сначала необходимо раскрыть статическую неопределимость задачи. На рис. 6.13, б изображена эквивалентная балка, в которой момент m должен быть подобран так, чтобы угол поворота в опоре А обращался в нуль как и в исходной схеме балки (рис. 6.13, а).

  Вычислим угол поворота в опоре А, используя решения п. 6.5:

 

откуда находим:

 

 Максимальный момент возникает в защемлении (рис. 6.13, в):

 

 Таким образом, условие прочности по допускаемым напряжениям (или расчетному сопротивлению) дает:

 

откуда

 

 Предельная нагрузка  упругого состояния, при которой впервые в балке возникает пластическая деформация, равна:

 

 Первый пластический шарнир образуется в защемлении. В этом пластическом шарнире . Однако балка будет испытывать стеснён- ную пластическую деформацию, пока в середине пролета под силой Р момент также не будет равным   и балка превратится в механизм

(рис. 6.13, г). Для предельного состояния имеем уравнения равновесия:

 

откуда следует  

Допускаемое значение внешней нагрузки:

 

Сравнивая  и  либо  и  получим, что их отношение:

 

 Статическая неопределимость задачи повышает допустимую нагрузку на 12,5%. Для балки прямоугольного сечения. В случае прямоугольника  Для данной задачи обнаруживается резерв прочности в 69% по сравнению с расчетом по допускаемым напряжениям.

 В рассматриваемом примере пластические шарниры образуются в за- щемлении и в сечении под сосредоточенной силой. В случае распределенной нагрузки указать сразу сечения, где возникнут пластические шарниры, не всегда удается. Рассмотрим простейшую двухпролетную статически не-  определимую балку (рис. 6.14). В п. 6.6 эта задача была решена для случая упругого поведения балки и построена эпюра моментов (рис. 6.12).

 Рис. 6.14 

 Момент Mt в среднем сечении, при котором в крайних волокнах возникают пластические деформации:

 

откуда соответствующая предельная нагрузка равна:

 

 Рассмотрим предельное состояние балки. Первый пластический шарнир образуется над средней опорой. Два других - в сечениях, строго говоря, не совпадающих с сечениями, где действуют максимальные моменты. Обозначим расстояние от левой опоры до первого шарнира в пролете через . Тогда уравнение равновесия балки левее первого и второго шарниров будет иметь вид:

 

откуда после исключения RA следует:

 

 Разрушающая предельная нагрузка оказывается зависящей от величиины  т.е. местоположения пластического шарнира в пролете. Дифференцируя данное выражение для q по  и приравнивая производную нулю, получим:

 

откуда

 

 Так как то перед радикалом следует сохранить знак плюс. Тогда  В результате получим:

 

Сравнивая выражения для и , находим:

 

Следовательно, в данной задаче статическая неопределимость повышает допустимую нагрузку на 45,7%. Если балка имеет прямоугольное сечение,

то . Поэтому в данной задаче полное увеличение допускаемой нагрузки составляет т.е. 118,6%. Если заменить в каждом из пролетов распределенную нагрузку q их равнодействующими   приложенными в их середине, т.е. при , то получим:

 

 Величина

 

что отличается от точного решения всего на 2,94%. Для прямоугольного

сечения получаем k = 2,25 вместо 2,186.

Построение эпюры напряжений.

Нормальные напряжения s(z) распределяются равномерно по сечению:

где N(z) – продольная сила, A(z) – площадь поперечного сечения.

 Для определения положения опасного сечения стержня, в котором возникают максимальные напряжения, определим напряжения в долях 1/А0.

  Участок АВ (0£z1£l2), нормальные напряжения

 На участке ВС (l1£z2£2l2):

 Участок СD (0£z3£l3):

 По полученным данным строим эпюру ЭsА0 (рис. 1.3 в).

 1.2.3. Расчет на прочность. Подбор сечения.

 По эпюре напряжений видно, что опасным является сечение В

 Условие прочности при растяжении-сжатии имеет вид:

где [s] – допускаемое напряжение, которое определено выше для материала Ст30 и равно [s]=563,8 Мпа.

 Тогда условие прочности примет вид

откуда А0:

 Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении А0.

 Участок АВ:

 Участок ВС:

 Участок CD:

По полученным данным строим эпюру действующих в стержне нормальных напряжений Эs (рис. 1.3 г).

МОДЕЛЬ НАГРУЖЕНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ Механические нагрузки (объемные и поверхностные). Силы внешние и внутренние. Дилатационные воздействия (тепловые, нейтронные, водородные). Воздействие коррозионно активных сред. Силовое и кинематическое нагружение.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений