Системы счисления

Системой счисления называется способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов, имеющих определенные количественные значения. Систему счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах каждая цифра числа имеет определенный вес, зависящий от позиции цифры в последовательности, изображающей число. Позиция цифры называется разрядом. В позиционной системе счисления любое число можно представить в виде:

An=am-1am-2…aia0*a-1a-2…a-k=am-1*Nm-1+am-2*Nm-2…+a-k*N-k

, (2.1)

где ai – i-я цифра числа; k – количество цифр в дробной части числа; m - количество цифр в целой части числа; N – основание системы счисления.

Основание системы счисления N показывает, во сколько раз “вес” г-го разряда больше (i-1) разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).

Пример 2.1. А10=37.25.

В соответствии с формулой (2.1)это число формируется из цифр с весами рядов:

А10=3*101+7*100+2*10-1+5*10-2.

Теоретически наиболее экономичной системой счисления является система с основанием е=2,71828..., находящимся между числами 2 и 3.

Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации используется двоичная система счисления. Это обусловлено:

более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;

более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);

экономичностью аппаратурной реализации всех схем ЭВМ.

При N=2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:

·          двоичная- {0,1};

·          десятичная, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел, - {0, 1,...,9};

·          шестнадцатеричная - {0,1,2, ...9, А, В, С, D, Е, F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10,В-число 11, ...,F-число 15;

·          восьмеричная (от слова восьмерик) - {0,1,2,3,4,5, б, 7}. Она широко используется во многих специализированных ЭВМ.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 24 и 8 = 23. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.

 

Пример 2.2. Число в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления имеет следующее представление:

А2=1100100,101;

Аg=144.5;

A16=64.A;

A2=1*26+1*25+0*24+0*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3;

A8=1*82+4*81+4*80+5*8-1;

A16=6*161+4*160+10*16-1.

Представление чисел в различных системах счисления допускает однозначное преобразование их из одной системы в другую. В ЭВМ перевод из одной системы в другую осуществляется автоматически по специальным программам. Правила перевода целых и дробных чисел отличаются.


На главную