Расчет электрической цепи примеры расчетных заданий по электротехнике

Электрические цепи переменного синусоидального тока

1. Переменный ток (напряжение) и характеризующие его величины

Переменным называется ток i(t) [напряжение u(t)], периодически изменяющийся во времени по произвольному закону. В электроэнергетике понятие ’’переменный’’ употребляют в более узком смысле, а именно: под переменным понимают ток (напряжение), изменяющийся во времени по синусоидальному закону:

i(t)=Im sin(wt+yi),

u(t)=Umsin(wt+yu)

Графические диаграммы этих функций имеют вид рис. 32:

Время, за которое происходит одно полное колебание, называется периодом и обозначается буквой Т. Число полных колебаний (периодов) в единицу времени называется частотой f:

  [Гц]

Из математики известно, что синусоидальная функция времени может быть описана вращающимся вектором со скоростью вращения w. В технике эта величина получила название угловой частоты:

w = 2pf =  [с-1] или [рад/с]

В выражениях функций i(t) и u(t) приняты обозначения:

u(t), i(t) или u, i  - мгновенные значения функций, т.е. их значения в произвольно выбранный момент времени;

Um, Im - амплитудные (максимальные) значения функций;

(wt+y) - фаза, определяющая момент времени;

yu, yi – начальные фазы функций, определяющие их значения в момент t=0, зависят от выбора начала отсчета времени;

j = yu-yi – угол сдвига фаз (разность начальных фаз) между напряжением и током, не зависит от выбора начала отсчета времени.

Синусоидальная форма для функций токов и напряжений в электроэнергетике утверждена в качестве стандарта и является одним из показателей качества электроэнергии как товара.

Из физических законов следует, что при протекании синусоидального тока i=Imsinwt  через любой линейный элемент электрической цепи напряжение на его зажимах также будет синусоидальным, и наоборот, при синусоидальном напряжении ток также будет иметь синусоидальную форму.

Из закона Ома для резистора R следует:

uR = Ri=RImsinwt=Umsinwt.

Из закона электромагнитной индукции для катушки L следует:

uL = - e = = wLImcoswt = Umsin(wt+90°).

Из закона сохранения заряда для конденсатора С следует:

uC = = Umsin(wt-90°).

Таким образом, в цепи переменного тока любой сложности напряжения и токи на всех участках будут изменяться по синусоидальному закону при условии, что источники энергии обеспечивают синусоидальную форму напряжений на их выводах.

Диапазон частот токов и напряжений, применяемых в различных отраслях современной техники, очень велик: от 10-1 Гц до 109 Гц. В электроэнергетике в качестве стандарта частоты в Европе принята частота f=50 Гц (w=2pf = 314 c-1), а в США и Канаде f = 60 Гц (w = 377 с-1), в других странах возможны оба варианта или один из них.

 Частота f = 50 Гц принята в качестве стандарта исторически на заре развития электроэнергетики и уже не соответствует сегодняшнему уровню развития техники. Оптимальной на сегодня была бы частота в диапазоне 150 – 200 Гц. Однако переход на оптимальную частоту связан с большими техническими сложностями и в ближайшее время не может быть осуществлен.

Задача 2.5

  В сеть напряжением 220 В включены последовательно катушка с активным сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 159 мГн, а также батарея конденсаторов. Определить емкость батареи, при которой в цепи установится резонанс напряжений. Найти ток в цепи и напряжение на индуктивном и емкостном элементах. Построить топографическую диаграмму напряжений.

Решение

 Схема замещения цепи представлена на рис. 2.5 а. Сопротивление ее реактив-ных элементов при резонансе Lω = 1/(Cрезω). Отсюда

Cрез = 1/( Lω2) = 63,5 мкФ и XL = XC = 50 Ом.

Подпись: Рис. 2.5

 Комплексное входное сопротивление схемы при резонансе будет чисто активным:  Ток 

 Напряжение на индуктивном и емкостных элементах равны между собой и значительно превышают входное напряжение: 

Поэтому внезапное установление резонанса напряжений в цепях может вызвать аварийную ситуацию, привести к пробою изоляции и т.д. Топографическая диаграмма напряжений при резонансе приведена на рис. 2.5 б.

Задача 2.6

 Определить силу тока, падения напряжений на элементах и построить векторную диаграмму для цепи, схема которой показана на рис. 2.6 а, если известно, что U =120 В, ψu= 0, R = 6 Ом, L = 25,5 мГн, f = 50 Гц.

Решение

Находим:

xL =ωL=2πf L=2∙3,14∙50∙25,5∙10 -3 = 8 Ом;

Z = R + jxL = 6 + j8 = 10е j53° Oм;

İ = Ù/Z = 120/(10е j53°) = 12e -j53° А;

ÙR = R İ = 6∙12e -j53° = 72е -j53° В;

ÙL = jхL İ = 8∙12е -j53° е j90° = 96e j37° В.

 Векторная диаграмма приведена на рис. 2.6 б. Ток в рассматриваемой цепи отстает по фазе от приложенного к ней напряжения на угол φ = 53°.

  а) б)

 Рис. 2.6

При согласном включении токи в обоих элементах в любой момент времени на-правлены одинаково относительно одноименных выводов, поэтому магнитные потоки самоиндукции Ф11 (или Ф22) и взаимной индукции Ф12 (или Ф21), сцеп-ленные с каждым элементом, складываются. При встречном включении токи в обоих элементах цепи в любой момент времени направлены противоположно относительно одноименных выводов, поэтому магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции, сцепленные с каж-дым элементом, вычитаются.
Переходные процессы в электрических цепях