Расчет электрической цепи примеры расчетных заданий по электротехнике

Векторные диаграммы переменных токов и напряжений

Из курса математики известно, что любую синусоидальную функцию времени, например i(t)=Imsin(wt+a), можно изобразить вращающимся вектором при соблюдении следующих условий :

  а) длина вектора в масштабе равна амплитуде функции Im ;

 б) начальное положение вектора при t = 0 определяется начальной фазой a;

  в) вектор равномерно вращается с угловой скоростью w, равной угловой частоте функции.

 

 При соблюдении названных условий проекция вращающегося вектора на вертикальную ось y в системе координат х-у в любой момент времени t¢ равна мгновенному значению функции i(t¢), следовательно i = Im sin(wt+a)

Рассмотрим процессы в схеме электрической цепи рис. 36. Изобразим синусоидальные функции токов и напряжений вращающимися векторами для произвольного момента времени, например t = 0 (рис. 37а). При рассмотрении установившегося режима в схеме мгновенные значения функций не представляют интереса, поэтому момент времени, для которого строится векторная диаграмма, может быть выбран произвольно. Целесообразно один из векторов принять начальным или исходным и совместить его на диаграмме с одной из осей координат (вектор Е на рис. 37б совмещен с осью y), при этом остальные векторы располагают по отношению к исходному вектору под углами, равными их сдвигам фаз.

 

Так как на практике интерес представляют действующие значения токов и напряжений, то на векторных диаграммах длины векторов принимают равными в выбранных масштабах их действующим значениям (рис. 37б).

 

 

Совокупность векторов токов и напряжений, характеризующих процессы в цепи переменного тока, построенных в выбранных масштабах и с соблюдением правильной их ориентации друг относительно друга, называется векторной диаграммой.

Задача 1.12

 Определить токи в ветвях электрической цепи (рис. 1.12) методом узловых потенциалов, если El = 20 В, E2 = 30 В, E3 = 2 В, E4 = 1,2 В, E5 = 5,6 В, R1 =  = 50 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 20 Ом, R4 =10 Ом, R5 = 100 Ом, R6 = 50 Ом, R7 = = 20 Ом.

Решение

 В тех случаях, когда в цепи имеется ветвь с идеальным источником ЭДС, целесообразно считать заземленным один из узлов именно этой ветви. Примем равным нулю потенциал узла 3, тогда потенциал узла 1 равен E1 = φ1 = 20 B.

 Общее число требующихся для решения задачи уравнений уменьшается на одно, т. е. достаточно следующих уравнений:

 g21 φ1 + g22 φ2 + g24 φ4 = JII ; (12.1)

 g41 φ1 + g42 φ2 + g44 φ4 = JIV.

Рис. 1.12

Определим собственные и взаимные проводимости узлов:

g22 =  1/R3 + 1/R4 + 1/R6 = 1 / 10 + 1 /20 + 1 /50 = 0,17 См;

g44 = 1/R4+1/R5 +1/R7 = 1/20 + 1/10 + 1/20 = 0,2 См;

g12 = g21 = -1/R6 = -1 /50 = -0,02 См;

g24 = g42 = -1/R4 = -1 /20 = -0,05 См;

g14 = g41 = -1/R7 = -1 /20 = -0,05 См.

Определим узловые токи:

JII = Е3 /Rз - E4 /R4 = 2/10 -1,2/20 = 0,14 А;

JIV = E4 /R4 + Е5 /R5 = 1,2/20 + 5,6/10 = 0,62 А.

Подставим полученные результаты в систему уравнений (12.1):

 -0,02 ∙ 20 + 0,17 φ2 - 0,05 φ4 = 0,014; (12.2)

 -0,05 ∙ 20 - 0,05 φ2 + 0,2 φ4 = 0,62.

Решив систему уравнений (12.2), определим потенциалы узлов 2 и 4:

 φ2 = 6 В, φ4 = 9,6 В.

Пользуясь законом Ома, определим токи в ветвях:

I1 = 0,2 А; I2 = 0,2 А; I3 = 0,4 А; I4 = 0,12 А; I5 = 0,4 А; I6 = 0,28 А;

I7 = 0,52 А.

Ток в ветви с источником ЭДС Е1 определяется no первому закону Кирхгофа:

IЕ1=I6 + I7 + I8 -I2 = 0,2 + 0,28 + 0,52 - 0,2 = 0,8 А.

Или

IE1 = I6 + I3 + I5 - I2 = 0,2 + 0,4 + 0,4 - 0,2 = 0,8 А.

Уравнение баланса мощностей показывает, что мощность источников ЭДС примерно равна мощности нагрузки.

 

При согласном включении токи в обоих элементах в любой момент времени на-правлены одинаково относительно одноименных выводов, поэтому магнитные потоки самоиндукции Ф11 (или Ф22) и взаимной индукции Ф12 (или Ф21), сцеп-ленные с каждым элементом, складываются. При встречном включении токи в обоих элементах цепи в любой момент времени направлены противоположно относительно одноименных выводов, поэтому магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции, сцепленные с каж-дым элементом, вычитаются.
Переходные процессы в электрических цепях