Расчет электрической цепи примеры расчетных заданий по электротехнике

Топологические методы расчета электрических цепей

Топологические определения схемы

С появлением ЭВМ и их широким применением для решения сложных математических задач были разработаны специальные топологические расчёта сложных электрических цепей, графов и матриц.

Схема сложной электрической цепи (рис. 83а) может быть заменена (представлена) направленным графом (рис. 83б) с соблюдением следующих условий:

1)узлы графа соответствуют узлам схемы;

2)ветви графа соответствуют ветвям схемы;

3) направление ветвей соответствует направлению токов в ветвях схемы.

Любая часть графа называется подграфом. Минимальный связанный подграф, соединяющий все узлы графа и не образующий контуров, называется деревом графа (на схеме графа обозначается жирной линией). Для конкретного графа может быть составлено определенное множество вариантов деревьев, но в расчете схемы принимается любой из вариантов. Ветви графа, не входящие в его дерево, называются связями или хордами.

Структура графа и соответственно структура электрической схемы может быть описана с помощью топологических матриц или матриц соединения. Таких матриц несколько, для расчета электрических цепей используются две основные:   - матрица соединений «узлы-ветви» и - матрица соединений «контуры-ветви». 

 В общем случае сложная схема содержит «m» ветвей и «n» узлов, при этом максимальное число ветвей зависит от числа узлов: .

Составим таблицу соединений «узлы-ветви» руководствуясь следующими правилами:

1 – ветвь выходит из узла,

-1 – ветвь входит в узел,

0 – отсутствие связи с узлом.

Т а б л и ц а 1

№ узла \ № ветви

1

2

3

4

5

6

1

1

-1

0

1

0

0

2

-1

0

-1

0

1

0

3

0

1

1

0

0

-1

4

0

0

0

-1

-1

1

Так как каждая ветвь имеет только один вход (-1) и один выход (+1), то сумма чисел по вертикали для любого столбца равна нулю. Из этого следует, что независимыми являются только 3 из 4 строк таблицы. Матрица соединений  «узлы-ветви» (табл. 2) получается из приведенной выше таблицы путем вычеркивания любой строки (например, строки №4):

Т а б л и ц а 2

№ узла \ № ветви

1

2

3

4

5

6

1

1

-1

1

2

-1

-1

1

3

1

1

-1

Размерность матрицы соединений  «узлы-ветви» равна , где n-1 – число независимых узлов, m – число ветвей.

Независимыми называются контуры графа, образованные одной из хорд и ветвями дерева. Число независимых контуров соответствующих числу хорд графа: , контуры нумеруются по номеру хорды (1, 2, 3). Направление обхода контура принимается по направлению хорды, которая входит в состав этого контура.

 Составим таблицу соединений «контуры-ветви», руководствуясь следующими правилами:

1 – направление ветви совпадает с направлением обхода контура,

-1 – направление ветви не совпадает с направлением обхода контура,

0 - ветвь не входит в контур.

Т а б л и ц а 3

№ контура \ № ветви

1

2

3

4

5

6

1

1

0

0

-1

1

0

2

0

1

0

1

0

1

3

0

0

1

0

1

1

Данная таблица получила название матрицы соединений  - «контуры-ветви».Размерность матрицы соединений  равна , где – число независимых контуров, m – число ветвей.

Если матрицы соединений  и  составлены верно, то должно выполняться условие: .

Уравнения Ома и Кирхгофа в матричной форме

Если в исследуемой сложной схеме содержатся параллельно включенные ветви, то для составления матриц соединений такие ветви необходимо заменить (объединить) одной эквивалентной ветвью.

В общем случае любая ветвь схемы кроме комплексного сопротивления (проводимости)  может содержать источник ЭДС Ек, источник тока Jк. Схема и граф обобщенной ветви показаны на рис. 1а, б:

Ток ветви Iк, напряжение ветви Uк = j1 - j2.

Из потенциального уравнения ветви  следуют:

- уравнения Ома для к-ой ветви.

Для всех «m» ветвей составим систему уравнений по этой форме:

Заменим полученную систему из «m» уравнений матричной формой. Для этой цели введем следующие обозначения матриц:

- столбцовые матрицы соответственно напряжений, токов, источников тока и источников ЭДС.

  ; 

Уравнения Ома в матричной форме получат вид:

 

Уравнения Кирхгофа в обычной форме имеют вид:  - первый закон Кирхгофа для узлов, - второй закон Кирхгофа для контуров.

Система уравнений Кирхгофа в матричной форме получается через матрицы соединений  и :

Составленная система уравнений содержит “m” неизвестных токов и “m” неизвестных напряжений, всего 2“m” неизвестных, и непосредственно не может быть решена.

Сделаем подстановку матрицы  из матричных уравнений закона Ома, получим:

Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме:

Сделаем подстановку матрицы  из матричного уравнения закона Ома, получим:

Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме:

Задача 2.12

 Цепь, состоящая из последовательно соединенных катушки с активным сопротивлением R = 50 Ом и индуктивностью L = 14,9 мГн, а также конденсатора емкостью С = 1,7 мкФ, подключена к источнику синусоидального напряжения, амплитуда которого неизменна, а частота может плавно изменяться в пределах 0<f0<2fрез. Построить частотные характеристики элементов и всей цепи, а также зависимость I(f), если U = 100 В.

Решение

Рис. 2.12

Ответ: зависимости XL(f), XC(f) и Z(f) представлены на рис. 2.12 а, зависимость I(f) - на рис. 2.12 б; fрез = 1 кГц.

Задача 2.13

 Катушка индуктивности в цепи источника синусоидального тока напряжения U1 = 100 В; комплексное выражение полной мощности  В∙A.

 Определить мощность, потребляемую этой же катушкой, если включить ее в цепь источника постоянного напряжения, U2 = 100 В.

Ответ: P2 = 100 Вт.

Трёхфазные цепи. Объединение в одной линии электропере-дачи нескольких цепей переменного тока с независимыми источниками электроэнер-гии называется многофазной системой. Наибольшее распространение получила трёхфазная система, которая была изобретена и разработана выдающимся русским инженером М. О. Доливо-Добровольским в 1889-1891гг. Трёхфазной симметричной системой Э.Д.С. называется совокупность трёх Э.Д.С. одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых друг относительно друга по фазе на 120
Переходные процессы в электрических цепях