Расчет электрической цепи примеры расчетных заданий по электротехнике

Электрические цепи периодического несинусоидального тока

Общие определения

Как известно, в электроэнергетике в качестве стандартной формы для токов и напряжений принята синусоидальная форма. Однако в реальных условиях формы кривых токов и напряжений могут в той или иной мере отличаться от синусоидальных. Искажения форм кривых этих функций у приемников приводят к дополнительным потерям энергии и снижению их коэффициента полезного действия. Синусоидальность формы кривой напряжения генератора является одним из показателей качества электрической энергии как товара.

 Возможны следующие причины искажения формы кривых токов и напряжений в сложной цепи:

наличие в электрической цепи нелинейных элементов, параметры которых зависят от мгновенных значений тока и напряжения [R, L, C=f(u,i)], (например, выпрямительные устройства, электросварочные агрегаты и т. д.);

наличие в электрической цепи параметрических элементов, параметры которых изменяются во времени [R, L, C=f(t)];

 источник электрической энергии (трехфазный генератор) в силу конструктивных особенностей не может обеспечить идеальную синусоидальную форму выходного напряжения;

 влияние в комплексе перечисленных выше факторов.

Нелинейные и параметрические цепи рассматриваются в отдельных главах курса ТОЭ. В настоящей главе исследуется поведение линейных электрических цепей при воздействии на них источников энергии с несинусоидальной формой кривой.

2.Разложение периодических несинусоидальных функций

в гармонический ряд Фурье

Из курса математики известно, что любая периодическая функция времени f(t), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена гармоническим рядом Фурье:

.

Здесь А0 – постоянная составляющая, - k-я гармоническая составляющая или сокращенно k-я гармоника. 1-я гармоника называется основной, а все последующие - высшими.

Амплитуды отдельных гармоник Ак не зависят от способа разложения функции f(t) в ряд Фурье, в то же время начальные фазы отдельных гармоник   зависят от выбора начала отсчета времени (начала координат).

Отдельные гармоники ряда Фурье можно представить в виде суммы синусной и косинусной составляющих:

.

Тогда весь ряд Фурье получит вид:

.

Соотношения между коэффициентами двух форм ряда Фурье имеют вид:

.

Если k-ю гармонику и ее синусную и косинусную составляющие заменить комплексными числами, то соотношение между коэффициентами ряда Фурье можно представить в комплексной форме:

.

Если периодическая несинусоидальная функция времени задана (или может быть выражена) аналитически в виде математического уравнения, то коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам, известным из курса математики:

,

,

,

.

На практике исследуемая несинусоидальная функция f(t) обычно задается в виде графической диаграммы (графически) (рис. 118) или в виде таблицы координат точек (таблично) в интервале одного периода (табл. 1). Чтобы выполнить гармонический анализ такой функции по приведенным выше уравнениям, ее необходимо предварительно заменить математическим выражением. Замена функции, заданной графически или таблично математическим уравнением, получила название аппроксимации функции.

Т а б л и ц а 1

m

0

1

2

3

M

tm

t0

t1

t2

t3

T

fm

f0

f1

f2

f3

f0

В настоящее время гармонический анализ несинусоидальных функций времени f(t) выполняется, как правило, на ЭВМ. В простейшем случае для математического представления функции применяется кусочно-линейная аппроксимация. Для этого вся функция в интервале одного полного периода разбивается на M=20-30 участков так, чтобы отдельные участки были по возможности ближе к прямым линиям (рис. 1). На отдельных участках функция аппроксимируется уравнением прямой fm(t)=am+bm××t, где коэффициенты аппроксимации (am, bm) определяются для каждого участка через координаты его конечных точек, например, для 1-го участка получим:

.

Период функции Т разбивается на большое число шагов интегрирования N, шаг интегрирования , текущее время ti=h×i, где i - порядковый номер шага интегрирования. Определенные интегралы в формулах гармонического анализа заменяются соответствующими суммами, их подсчет выполняется на ЭВМ по методу трапеций или прямоугольников, например:

.

Для определения амплитуд высших гармоник с достаточной точностью   число шагов интегрирования должно составлять не менее 100k, где k - номер гармоники.

В технике для выделения отдельных гармоник из несинусоидальных напряжений и токов применяют специальные приборы, называемые гармоническими анализаторами.

Задача 4.3

На рис. 4.3 дана схема идеального двухобмоточного трансформатора; 10 В, 20, 20 Ом, 2.

Определить: 1) ; 2) мощности, доставляемые в цепь источниками и потребляемые в каждом из сопротивлений  и .

Решение

Идеальным трансформатором называется идеальный элемент цепи, для которого справедливы соотношения  и , где - коэффициент трансформации. Соотношения, связывающие входные и выходные величины трансформатора в приведенной выше форме, справедливы при указанных на схеме рис. 4.3 направлениях напряжений и токов.

1. Для указанных на рис. 4.3. Положительных направлений напряжений и токов, уравнения равновесия запишутся в виде:

 причем  и .

 Из уравнений определяется :

  А, 

   В, В.

2. Мощности, доставляемые источниками в цепь:

Вт,   Вт.

Знак «минус» в выражении  учитывает несовпадение на схеме положительных направлений  и .

Частотные характеристики последовательного колебательного контура Рассмотрим частотные характеристики цепи при резонансе. В случае, когда на последовательную цепь воздействует источник синусоидального напряжения с частотой w, меняю­щейся от 0 до ¥, параметры цепи, а именно ее реактивное и полное сопротивления, меняются, что вызовет соответствующие изменения тока и падений напряжения на отдельных участках цепи. Построим функции названных выше сопротивлений в одних координатных осях
Переходные процессы в электрических цепях