Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Энергетика
Оборудование атомной станции
Реактор БРЕСТ-2400
Ядерная индустрия
Введение в экологию энергетики
Информатика
Архитектура ПК
Математика
Множества
Линейная и векторная алгебра
Последовательность
Решение задач
Дифференцируемость функций
Исследование функций
Многочлены с комплексными коэффициентами
Определенный интеграл
ТФКП примеры решения задач
Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов
Математика примеры решения задач
Примеры вычислений интегралов
Физика Электротехника
Примеры решения задач
Линейные электрические цепи
Теоретические основы
электротехники
Графика
Курс лекций Сопротивление материалов
Сопромат расчеты на прочность
Машиностроительное черчение
Инженерная графика
История искусства
Акварель в архитектурном чертеже.
Мастерская живописи и рисунка
Построение архитектурного пространства
История живописи
Компьютерная математика
MATLAB
Основы графической визуализации вычислений
Пользовательский интерфейс
Операторы и функции
Специальные математические функции
Многомерные массивы
Численные методы
Обработка данных
Основы программирования
Архитектура ПК

 

Производная функции, ее геометрический и физический смысл Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Односторонние производные функции в точке Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения  при условии, что это отношение существует.

Логарифмическое дифференцирование

Дифференциал функции Пусть функция y= f(x) имеет производную в точке х:

Формула Тейлора 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

Формула Маклорена Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу.

Теоремы о среднем

Теорема Ролля Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Теорема Лагранжа

Теорема Коши Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g ¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х ®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Производные и дифференциалы высших порядков Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f ¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Асимптоты Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Схема исследования функций Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать

Векторная функция скалярного аргумента Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке. Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора .

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента

Параметрическое задание функции Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида

Производная функции, заданной параметрически

Кривизна плоской кривой Угол a поворота касательной к кривой при переходе от точки А к точке В называется углом смежности.

Свойства эволюты Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.

Кривизна пространственной кривой Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус – вектор при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.

О формулах Френе

Интегральное исчисление

Первообразная функция Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

Методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Интегрирование элементарных дробей Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Интегрирование рациональных функций Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда

Интегрирование некоторых иррациональных функций Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Интегрирование биноминальных дифференциалов Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Определенный интеграл Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке

Вычисление определенного интеграла Пусть в интеграле   нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Интегрирование по частям Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Геометрические приложения определенного интеграла Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Вычисление объемов тел. Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.

Функции нескольких переменных При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

Частные производные высших порядков Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные  и  тоже будут определены в той же области или ее части.

Экстремум функции нескольких переменных Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

Производная по направлению Проведем через точки М и М1 вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Градиент Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Вычисление двойного интеграла Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и

Тройной интеграл При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

Цилиндрическая система координат Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Геометрические и физические приложения кратных интегралов

 Вычисление площадей

Если функция  на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью  и прямыми  равна  (2.7)

Если функция  на , то площадь вычисляется по формуле (2.7) от абсолютной величины подынтегральной функции.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми  и , при условии, что , то искомую площадь найдем как разность площадей двух криволинейных трапеций. Получим

Для нахождения пределов интегрирования надо найти абсциссы точек А и В пересечения кривых, решив уравнение .

Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями , вычисляется по формуле: .

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением  и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы  и , вычисляется по формуле: .

Пример 2.15. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой  и осью .

Решение. Так как функция  четная, то кривая (парабола) симметрична относительно оси  и ветви ее направлены вниз.

Парабола и ось , уравнение которой , пересекается и тогда , откуда .

Площадь всей фигуры, ввиду ее симметрии относительно оси ,

 (кв. ед).

Атомная промышленость. Лекции по физике, математике, информатике MATLAB пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений