При практическом интегрировании в некоторых случаях удобнее вводить новую переменную при помощи замен, а в некоторых при помощи . Эти замены переменной будем называть подстановками. Существует много различных подстановок, выбор которых зависит от вида подынтегральной функции или проведенных практикой и обоснованных приемов. Таковы, например, универсальная тригонометрическая подстановка, три подстановки Эйлера, подстановка Чебышева и другие.

Определенный интеграл.

  Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

 

 y

  M

 

 

 

 

 

  Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1x0 = Dx1, x2x1 = Dx2, … ,xnxn-1 = Dxn;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x0, x1] ® m1, M1;  [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn.

 

  Составим суммы:

n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn =

n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn =

  Сумма  называется нижней интегральной суммой, а сумма  – верхней интегральной суммой.

Т.к. mi £ Mi, то n £ nа  m(b – a) £ n £ n £ M(b – a)

 

  Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x0 < e1 < x1x1 < ex2,  … , xn-1 < e < xn.

 

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

 

Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =

Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi

 

  Следовательно,

 

  Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

  Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если  , то

 

  Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма  стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

 

  Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

 

  Определение: Если для функции f(x) существует предел  то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

 

Также верны утверждения:

 

  Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

 

Свойства определенного интеграла.

1)     

2)     

3)     

4)      Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, ba < b, то

 

5)      Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

 

6)      Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что

Доказательство: В соответствии со свойством 5:

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число eÎ [a, b], что если

 и m = f(e), а a £ e £ b, тогда . Теорема доказана.

 

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

 

 

8)

 

  Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция j(х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка e, такая, что

Математика примеры решения задач

Формула Ньютона-Лейбница способствовала решительному и быстрому внедрению методов интегрирования в практику. Благодаря этой формуле математика получила общий метод для решения многих частных задач и смогла значительно расширить круг приложений.
На главную