Математика примеры решения задач

Из сказанного и рассмотренных примеров видно, что общие методы интегрирование требуют нешаблонного подхода, необходимы определенные навыки и сообразительность для приведения данных интегралов к табличным. Для некоторых видов интегралов имеются типовые приемы преобразований, приводящих эти интегралы к табличным.

Градиент 

  Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

,

то этот вектор называется градиентом функции u.

 

 

  При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

 

Связь градиента с производной по направлению.

  Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

.

Тогда производная  по направлению некоторого вектора  равняется проекции вектора gradu на вектор .

 

 

  Доказательство: Рассмотрим единичный вектор  и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов  и gradu.

  Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

  Т.е. . Если угол между векторами gradu и  обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор   единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

  Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора gradu на вектор .

  

  Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

  С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.

Пример 2.16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , Решение. Для определения пределов интегрирования сделаем рисунок, из которого видно, что площадь проще вычислить по переменной , так как вдоль оси площади искомой фигуры образуют разности площадей криволинейных трапеций.
На главную