Математика примеры решения задач

Из сказанного и рассмотренных примеров видно, что общие методы интегрирование требуют нешаблонного подхода, необходимы определенные навыки и сообразительность для приведения данных интегралов к табличным. Для некоторых видов интегралов имеются типовые приемы преобразований, приводящих эти интегралы к табличным.

Тройной интеграл.

  При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

  Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.

 

 

  Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью j(x, y, z) = 0.

 

 

Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

  Пример. Вычислить интеграл

Замена переменных в тройном интеграле.

  Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.

  Можно записать:

 

 

  Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе.

Пример 2.23. Вычислить приближенное значение интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления производим с округленным до третьего десятичного знака числами.

, где ,,

 формула Симпсона для

, где ;

 

.

Вопросы для подготовки к промежуточному контролю

I. Определения

Первообразная функция.

Неопределенный интеграл.

Рациональная дробь.

Правильные рациональные дроби.

Неправильные рациональные дроби.

Определенный интеграл.

Интеграл с переменным верхним пределом.

II. Вопросы без доказательства

Теоремы о первообразной функции.

Свойства неопределенного интеграла.

Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла и основные функции, которые интегрируются по частям.

Основные свойства определенного интеграла.

Теоремы об оценке определенного интеграла. Геометрический смысл теоремы.

Теорема о среднем для определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат.

Вычисление площадей фигур, ограниченных параметрически заданной кривой.

Вычисление длины дуги (плоской и пространственной), заданной параметрически.

Вычисление длины дуги, заданной в полярной системе координат.

III. Вопросы с доказательством

Теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.

Вычисление объема тела вращения вокруг оси Ox.

Вычисление длины дуги в декартовой системе координат.

 

Пример 2.16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , Решение. Для определения пределов интегрирования сделаем рисунок, из которого видно, что площадь проще вычислить по переменной , так как вдоль оси площади искомой фигуры образуют разности площадей криволинейных трапеций.
На главную