Математика примеры решения задач

Из сказанного и рассмотренных примеров видно, что общие методы интегрирование требуют нешаблонного подхода, необходимы определенные навыки и сообразительность для приведения данных интегралов к табличным. Для некоторых видов интегралов имеются типовые приемы преобразований, приводящих эти интегралы к табличным.

Цилиндрическая система координат

 z

 

 

 

 

  P

 

 

  Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам: Поверхностные интегралы второго рода Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

 

  Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:

 

Итого:

 

Сферическая система координат.

 

 z

 

 

 

 

  P

 

 

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

  Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

  Окончательно получаем:


Пример 2.19. Вычислить площадь, ограниченную линиями  и .

Решение. Решая систему уравнений  и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .

Искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций:

 

 

Пример 2.16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , Решение. Для определения пределов интегрирования сделаем рисунок, из которого видно, что площадь проще вычислить по переменной , так как вдоль оси площади искомой фигуры образуют разности площадей криволинейных трапеций.
На главную