Векторная и линейная алгебра и аналитическая геометрия Контрольная работа

Элементы линейного программирования

Задача 23. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4000 у.е, пятитонного – 5000 у.е. Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 тысяч рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами.

Решение. Пусть приобретено  трехтонных и  пятитонных

 автомашин. Из условия задачи имеем

 

 ≤  20 

0 ≤  ≤ 18 

4+ 5 = 150 . (1)

Суммарная грузоподъемность приобретенных грузовиков равна

 L = 3 + 5 . (2)

Задача состоит в нахождении такого решения системы (1) , при котором линейная форма (целевая функция) (2) принимает наибольшее значение.

Графический метод решения

В прямоугольной системе координат  построим многоугольник

OABCD, образованный прямыми = 0 (OD),  =20 (AB),  = 0 (AO ),  = 18 ( CD), 4 + 5 = 150 ( BC) и прямую 3 + 5 = 0 (l) ( рис. 9 ).

Системе (1) удовлетворяют координаты точек, лежащих на пятиугольнике OABCD и внутри него. Так как прямые (l) и BC не параллельны, то для нахождения оптимального решения системы (1), для которого линейная форма (2) принимает наибольшее значение, достаточно найти значения этой формы в точках A, B, C, D и из полученных чисел выбрать наибольшее. В нашей задаче эти точки имеют следующие координаты: А (20; 0), В (20; 14), С (15, 18), D (0; 18). Подставляя координаты этих точек в (2), получим:

 

 L (A) = L (20; 0 ) = 60; L (B) = L (20; 14) = 130;

 L (C) = L (15; 18) = 135; L (D) = L (0; 18) = 90.

Рис. 9

Следовательно, L = L (15; 18) = 135, то есть предприятию следует приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин, при их общей грузоподъемностью 135 т.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте основную задачу линейного программирования. Приведите примеры.

Дайте геометрическую интерпретацию основной задачи линейного программирования.

В чем суть симплекс-метода решения задач линейного программирования?

Задача 1. Вычислить . Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Задача 6. Вычислить .

Задача 11. Вычислить . Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида  (здесь R – рациональная функция;   - целые числа) подстановка , где к – наименьшее общее кратное знаменателей , позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае  Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6. Применяем подстановку  

Задача 15. Вычислить Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей

Задача 18. Найти работу вектор-силы  на криволинейном пути

Задача 21. Определить, какие ряды сходятся

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Основной метод аналитической геометрии - метод координат. Его сущность: каждой точке М поставлены в соответствие пара или тройка чисел, называемых ее координатами. Каждой фигуре поставлено в соответствие уравнение F(x,у)=0 или F(x,у,z)=0. Отсюда возникают две основные задачи аналитической геометрии: 1) по геометрическому свойству фигуры составить ее уравнение; 2) по уравнению исследовать свойства и форму геометрической фигуры.
Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов