Векторная и линейная алгебра и аналитическая геометрия Контрольная работа

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

Разберите решение задачи 4 данного пособия.

Задача 4. Даны координаты трех точек: А(3; 0; −5), В (6; 2; 1), С (12; −12; 3).

Требуется: 1) записать векторы  и  в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами  и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

Решение. 1. Если даны точки М1(х1; у1; z1) b V2 (х2; у2; z2), то вектор   через орты , ,  выражается следующим образом:

= (х2 – х1) +(у2 – у1) +(z2 – z1) = aх+ах+ах. (1)

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

=(6–3) +(2–0) +(1+5)=3+2+6.

Подобным образом =(12–3) +(−12–0) +(3+5) =9−12+8.

Модуль вектора  вычисляется по формуле

  =. (2)

Подставляя в формулу (2) найденные раннее координаты векторов  и , находим их модули:

==7, ==17.

2. Косинус угла α, образованного векторами ·, равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

 cos α =  (3)

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то ·=3·9+2·(−12)+6·8=51.

Применяя (3), имеем:

сos α =cos  =  α ≈ 64º37'.

3. Известно, что уравнение искомая плоскость проходит через точку М0(х0;у0;z0) перпендикулярно вектору n, имеет вид

 А( х–х0)+В(у–у0)+С(z–z0)=0. (4)

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С (12;−12;3) перпендикулярно вектору . Подставляя в (4) А=3, В=2, С=6, х0=12, у0=−12, z0=3, получим:

 3(х−12)+2(у+12)+6(z–3)=0,

3х+2у+6z−30=0 – искомое уравнение плоскости.

Вопросы для самопроверки

Какие величины называются скалярными? векторными?

Какие векторы называются коллинеарными?

Какие два вектора называются равными?

Как сложить два вектора? Как их вычесть?

Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца?

Назовите правила сложения, вычитания векторов, заданных в координатной форме. Как умножить вектор на скаляр?

Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам?

Напишите формулу для определения угла между двумя векторами.

 Напишите условия: коллинеарности двух векторов; их перпендикулярности.

 Напишите общее уравнение плоскости.

 Напишите уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

  Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки?

  напишите формулу для определения расстояния от точки до плоскости.

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А (−4; 8), В(5; −4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнения окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (3; 0) и до прямой х=12 равно числу =0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую

Элементы линейной алгебры Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Для n-мерного линейного пространства введем понятие длины вектора и угла между векторами. Это можно сделать, если определить операцию произведения над векторами. Как уже отмечалось, в n-мерном линейном пространстве базисом является любая система из n линейно независимых векторов. Часто выбирают базис из взаимно перпендикулярных (ортогональных) единичных векторов.
Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов