Математика множества, действительные числа

Энергетика
Оборудование атомной станции
Реактор БРЕСТ-2400
Ядерная индустрия
Введение в экологию энергетики
Информатика
Архитектура ПК
Математика
Множества
Линейная и векторная алгебра
Последовательность
Решение задач
Дифференцируемость функций
Исследование функций
Многочлены с комплексными коэффициентами
Определенный интеграл
ТФКП примеры решения задач
Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов
Математика примеры решения задач
Примеры вычислений интегралов
Физика Электротехника
Примеры решения задач
Линейные электрические цепи
Теоретические основы
электротехники
Графика
Курс лекций Сопротивление материалов
Сопромат расчеты на прочность
Машиностроительное черчение
Инженерная графика
История искусства
Акварель в архитектурном чертеже.
Мастерская живописи и рисунка
Построение архитектурного пространства
История живописи
Компьютерная математика
MATLAB
Основы графической визуализации вычислений
Пользовательский интерфейс
Операторы и функции
Специальные математические функции
Многомерные массивы
Численные методы
Обработка данных
Основы программирования
Архитектура ПК

 

Множества, подмножества, элементы множества.

В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения. Этот термин употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить (а) о множестве пчёл в улье, (б) о множестве точек отрезка, (в) о множестве вершин квадрата или (г) о множествах его сторон и (д) диагоналей, (е) о множестве студентов в аудитории и т.д. В приведённых примерах в случаях (а), (в)-(е) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример (б)) пересчитать невозможно, такие множества называются бесконечными. Наконец, множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Операции над множествами .

 В этом параграфе будут рассмотрены три простые операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и разность(дополнение) множеств.

Мощность множества.

 Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов. Для бесконечных множеств такого простогоправила сравнения количеств элементов в них нет; чтобы получить возможность описывать количество элементов в бесконечных множествах, введём следующие определения.

Множество Q рациональных чисел счётно.

Множество рациональных чисел (чисел вида p/q, где p,q - целые числа, q¹0) можно представить как объединение счётного числа следующих счётных множеств

Множества высших мощностей.

Если множества А и В неравномощны, но одно из них, например, А, равномощно с некоторым подмножеством множества В, то множество В называется множеством большей мощности, чем А.

Минимальной мощностью обладает пустое множество. Счётное множество имеет большую мощность, чем любое конечное, континуум - большую мощность, чем счётное. Существуют ли множества большей мощности? Следующая теорема показывает, что для любого множества можно построить более мощное множество.

Кванторы.

  В этом разделе мы расширим понятие термина "высказывание", чтобы ввести в рассмотрение утверждения вида х>7. Строго говоря, это утверждение не является высказыванием в смысле опр.2.1.1, так как мы не можем сказать, истинно оно или ложно (оно истинно, если, например, xÎ[12,15] и ложно, если xÎ[ 2, 5]). Тем не менее, утверждения, содержащие переменные x, y, z,… с областями возможных значений X, Y, Z,…, обладающие тем свойством, что для каждого набора переменных xÎ X, yÎ Y, zÎ Z,…истинность утверждения может быть установлена, в дальнейшем тоже будем называть высказываниями. Зависимость высказываний А, В, … от переменной x будем обозначать как А(х), В(х),… xÎ X. Подмножество Х(А)ÍХ множества Х такое, что для любого хÎХ(А) высказывание А(х) истинно, будем называть областью истинности высказывания А (так, для высказывания х>-2, X=[-5, 5] будет Х(А) = (-2, 5]).

Математические теоремы, их виды и логическая структура.

Теоремы прямая, обратная, противоположная.

 Простейшая форма математической теоремы такова: "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство В(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р1, Р2, Р3, …}- множество точек плоскости. Тогда формулировка теоремы Пифагора будет такова:

Достаточность и необходимость; существование и единственность.

 Переведём формулировку теоремы "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) на термины "необходимо", "достаточно": если для элемента х множества Х истинно утверждение А(х), то истинно и утверждение В(х). Таким образом, свойство В(х) необходимо для выполнения А(х) (если ложно В(х), то не может быть истинно А(х); необходимо целое число делится на 5 без остатка, если его десятичная запись оканчивается нулём). С другой стороны, условие А(х) достаточно для того, чтобы имело место В(х) (равенство последней цифры десятичной записи целого числа нулю достаточно, чтобы это число делилось на 5 без остатка).

Действительные числа.

Аксиомы действительных чисел.

Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология.

 Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, принято называть функциями общего вида.

 Любую функцию, область определения которой симметрична относительно точки x = 0, можно единственным образом представить в виде суммы чётной и нечётной.

Гиперболические функции. Определение гиперболических функций.

Графики гиперболических функций:

Атомная промышленость. Лекции по физике, математике, информатике MATLAB пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений