Математика Исследование функций и построение их графиков

Энергетика
Оборудование атомной станции
Реактор БРЕСТ-2400
Ядерная индустрия
Введение в экологию энергетики
Информатика
Архитектура ПК
Математика
Множества
Линейная и векторная алгебра
Последовательность
Решение задач
Дифференцируемость функций
Исследование функций
Многочлены с комплексными коэффициентами
Определенный интеграл
ТФКП примеры решения задач
Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов
Математика примеры решения задач
Примеры вычислений интегралов
Физика Электротехника
Примеры решения задач
Линейные электрические цепи
Теоретические основы
электротехники
Графика
Курс лекций Сопротивление материалов
Сопромат расчеты на прочность
Машиностроительное черчение
Инженерная графика
История искусства
Акварель в архитектурном чертеже.
Мастерская живописи и рисунка
Построение архитектурного пространства
История живописи
Компьютерная математика
MATLAB
Основы графической визуализации вычислений
Пользовательский интерфейс
Операторы и функции
Специальные математические функции
Многомерные массивы
Численные методы
Обработка данных
Основы программирования
Архитектура ПК

 

Условие постоянства функции

Пусть функцияимеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была постоянной на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия  для .

Док-во. Необходимость. Если f(x) постоянная на , то  для .

Достаточность. Пусть  для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. значения функции в двух любых точках интервала совпадают, следовательно, .

Условия монотонности функции.

Экстремумы функции, необходимое условие.

 В разделе 7.1. Теорема Ферма мы определили понятия локальных минимума, максимума (общее название - экстремумы) функции, и доказали, что если в точке внутреннего экстремума функции  существует производная , то . Таким образом получаем

Второй достаточный признак экстремума (в стационарной точке, по знаку второй производной). Пусть функция  в стационарной точке имеет не только первую, но и вторую производную. Тогда если , то  - точка минимума, если , то  - точка максимума.

Это правило непосредственно следует из теоремы 7.1.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции и из первого достаточного признака экстремума 8.4.1: если  - стационарная точка (), и , то производная  возрастает в точке . Так как , то  отрицательна при  и положительна при  в некоторой окрестности точки , т.е. меняет знак с "-" на "+" при переходе через критическую точку , следовательно,  - точка минимума. Если  - стационарная точка, и , то совершенно также доказывается, что  - точка максимума.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Направление выпуклости графика функции.

Асимптоты графика функции.

  Самый простой вид зависимости одной переменной от другой - линейная зависимость, поэтому из всего множества функций выделяют функции, имеющие асимптоты, т.е. функции, графики которых при удалении точки от начала системы координат сколь угодно близко приближаются к некоторой прямой.

 Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов  или  равен  или .

Из этого определения следует, что прямая  может быть вертикальной асимптотой графика функции  только в случае, когда точка  - точка разрыва второго рода этой функции.

Схема исследования функций и построения графиков.

  Сведём рассмотренные в этом разделе отдельные элементы в один алгоритм, с помощью которого исследуются функции и строятся их графики.

Общий характер функции:

область определения функции и, если это возможно, область её значений; наличие чётности, периодичности;

нахождение, если это возможно, пересечений графика функции с осями координат и областей её знакопостоянства (граничными точками интервалов знакопостоянства могут быть только концы интервалов области определения, точки разрыва, нули функции);

область непрерывности функции, её разрывы и их характер;

пределы при стремлении к границам области определения (при этом будут получены уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот, если они есть);

наличие наклонных асимптот.

.  для , выпуклость графика направлена вверх, точек перегиба нет.

 Окончательный вариант графика:

.

I. ; общего вида; периодична, период Т=2 , поэтому достаточно построить функцию на одном периоде, например, на . Находим значения функции на концах этого отрезка: . При  ; найдём нули функции:

На отрезке  расположены два нуля функции:  и .  на интервалах  и ,  на интервале . В силу периодичности функции нет необходимости искать пределы функции на бесконечности и асимптоты.

II. . Ищем критические точки первого рода:  при  и , на отрезке  находятся три таких точки: ,  и . Характер критических точек определяем с помощью второй производной:

Распределение знаков второй производной очевидно: + - + -. Окончательный график функции:

6. .

I. ; общего вида; непериодична;  при ; пределы на границах области определения:, , ,

;  - точка разрыва второго рода; прямая  - вертикальная асимптота. Ищем наклонные асимптоты: ,

Атомная промышленость. Лекции по физике, математике, информатике MATLAB пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений