Математика определенный интеграл примеры

Энергетика
Оборудование атомной станции
Реактор БРЕСТ-2400
Ядерная индустрия
Введение в экологию энергетики
Информатика
Архитектура ПК
Математика
Множества
Линейная и векторная алгебра
Последовательность
Решение задач
Дифференцируемость функций
Исследование функций
Многочлены с комплексными коэффициентами
Определенный интеграл
ТФКП примеры решения задач
Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов
Математика примеры решения задач
Примеры вычислений интегралов
Физика Электротехника
Примеры решения задач
Линейные электрические цепи
Теоретические основы
электротехники
Графика
Курс лекций Сопротивление материалов
Сопромат расчеты на прочность
Машиностроительное черчение
Инженерная графика
История искусства
Акварель в архитектурном чертеже.
Мастерская живописи и рисунка
Построение архитектурного пространства
История живописи
Компьютерная математика
MATLAB
Основы графической визуализации вычислений
Пользовательский интерфейс
Операторы и функции
Специальные математические функции
Многомерные массивы
Численные методы
Обработка данных
Основы программирования
Архитектура ПК

 

Определенный интеграл.

Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке    задана непрерывная функция , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :  при . Требуется определить площадь   трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией .

Теорема существования определённого интеграла. Если функция  непрерывна на отрезке , то она интегрируема по этому отрезку.

 Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого  найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек , . Требование непрерывности  достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на  при условии их ограниченности. Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если  неограничена на , то она неограничена на каком-либо , т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

Теоремы об оценке интеграла.

Если на отрезке  функция удовлетворяет неравенству , то .

Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство.

Если функция  интегрируема по отрезку , то .

.

Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если  - непрерывно дифференцируемые функции, то .

 Док-во. Интегрируем равенство  в пределах от  до : . Функция в левом интеграле имеет первообразную , по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.

  Пример: .

Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

,

функция  непрерывна на отрезке .

Атомная промышленость. Лекции по физике, математике, информатике MATLAB пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений