Математика ТФКП примеры решения задач

Ядерная индустрия Архитектура ПК Линейная и векторная алгебра Определенный интеграл ТФКП Математика примеры решения задач Примеры вычислений интегралов Курс лекций Сопротивление материалов

Энергетика
Оборудование атомной станции
Реактор БРЕСТ-2400
Ядерная индустрия
Введение в экологию энергетики
Информатика
Архитектура ПК
Математика
Множества
Линейная и векторная алгебра
Последовательность
Решение задач
Дифференцируемость функций
Исследование функций
Многочлены с комплексными коэффициентами
Определенный интеграл
ТФКП примеры решения задач
Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов
Математика примеры решения задач
Примеры вычислений интегралов
Физика Электротехника
Примеры решения задач
Линейные электрические цепи
Теоретические основы
электротехники
Графика
Курс лекций Сопротивление материалов
Сопромат расчеты на прочность
Машиностроительное черчение
Инженерная графика
История искусства
Акварель в архитектурном чертеже.
Мастерская живописи и рисунка
Построение архитектурного пространства
История живописи
Компьютерная математика
MATLAB
Основы графической визуализации вычислений
Пользовательский интерфейс
Операторы и функции
Специальные математические функции
Многомерные массивы
Численные методы
Обработка данных
Основы программирования
Архитектура ПК

 

Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Определить вид кривой .

Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами:

Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии . Вычислить пределы функций

Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда., ;

Производная по направлению. Пусть в плоскости XOY расположена точка M0(x0,y0). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул x=x0+tcosa, y=y0+tsina.

Для функции  найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

Вычислить интегралы от функции комплексного переменного: , где  - отрезок прямой, , .

Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах: ;

Вычислить интегралы с помощью вычетов. ;

Комплексные числа. Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью z1 = x1 + 0 i и z2 = x2 + 0 i получим z1 + z2 = (x1 + x2) + (0 + 0) i , z1 z2 = (x1x2 – 0 0) + (0 x1 + 0 x2) i, т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества. Для операции умножения справедливы свойства Переход от тригонометрической формы к алгебраической Рассмотрим деление комплексных чисел

Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической (экспоненциальной ) формах Арифметические операции c комплексными числами Элементарные функции комплексного переменного В этом случае аргумент y( t) изменится от 0 до 4 p (необходимо сделать чертеж). Это связано с тем, что при полном обходе окружности радиуса 2 точкой z( t) точка z2( t) обойдет окружность радиуса 4 два раза. В результате этого обхода аргумент функции z2( t)-1 изменится от 0 до 4 p. В этом примере k=0. Ответ 4 p/2=2 p.

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня n-ой степени из комплексного числа z. Задание кривых и областей на комплексной плоскости Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости Геометрическое изображнение ФКП. Задание функции w = f(z) как пары u = u(x, y), v = v(x, y) наводит на мысль изображать ФКП как пару поверхностей u(x, y), v(x, y) в трёхмерном пространстве, однако этот способ неудобен, так как он не позволяет осмыслить пару (u, v) как комплексное число Степенная функция Мы рассматриваем функцию w = z2 в верхней полуплоскости С +, несмотря на то, что она определена во всей плоскости С, по той причине, что она однолистна в этой полуплоскости

Предел ФКП

Дифференцируемость функции комплексной переменной Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции. Примеры вычисления производных Производная функции комплексного переменного определяется, как и производная в действительной области: Если функция f(z) дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей u( x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z) и выполняется условие Коши-Римана:

Конформность дифференцируемого отображения Гармоничность действительной и мнимой частей дифференцируемой функции Может ли функция v(x, y) = e -y(xcos x - ysin x) быть мнимой частью некоторой аналитической функции w = f(z)? В случае положительного ответа найти функцию w = f(z). Конформные отображения Исследовать на конформность в точке z= ¥ функцию w=iz-2. Найти угол в ¥ между действительной и мнимой осями.

Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.

Исследовать на сходимость ряд . Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами: Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .

Степенные комплексные ряды .

Элементарные функции комплексной переменной. Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями , .

Интегрирование функций комплексной переменной.

Интегральная теорема Коши. Интеграл от ФКП. Свойства интеграла от ФКП Теорема Коши для многосвязной области

Первообразная аналитической функции. Если функция w = f ( z) аналитична в односвязной области D, то, как мы доказали, интеграл по кривой   зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой.

  Мы доказали, что интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции равен нулю. Сейчас мы испортим функцию в одной-единственной точке z0 введением множителя ; поразительно, какие глубокие выводы получил Коши для интегралов вида . Интегральная формула Коши. Пусть w = f(z) аналитична в области D и L - замкнутая кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в D вместе с областью D1, которую она ограничивает. Сформулируем несколько следствий из доказанной теоремы. Значения аналитической в некоторой области функции полностью определяются её значениями на границе этой области.

Ряды Тейлора и Лорана Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений Решение задач на разложение функций в ряд Тейлора. Интегральная формула Коши. Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд). Записать разложение по степеням z функции f ( z) = ch z. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 0 функцию

Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням) Разложить функцию image240 (283 bytes) в ряд Лорана по степеням z. Найти особые точки функции. Найти разложение функции в ряд Лорана в окрестности каждой особой точки. Разложить в ряд по степеням z – 1 функцию f( z) = z/( z2-2 z+5).

Примеры разложения функций в ряд Лорана. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции . Разложить функцию  в ряд Лорана по степеням .

Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты. Определение нуля. Нуль порядка n. Простой нуль. Необходимое и достаточное условия нуля порядка n Порядок нуля произведения анал. функций Найти нули функции и определить их порядок: f (z) = 1+ch z. Точка z0, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f(z), если image288 (119 bytes) такая, что f(z) является однозначной аналитической функцией в image289 (198 bytes) (в самой точке аналитичность f(z) нарушается). Найти все конечные особые точки функции image186 (384 bytes) . Определить тип особой точки z = 0 для функции image197 (177 bytes) . Найти все особые точки функции ,определить их тип. Ответ обосновать.

Нули аналитической функции. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична во всех точках, за исключением точки а. Признаки особых точек по значению . Теорема о связи нулей и полюсов. Функция f(z) имеет в точке z = a – полюс n-го порядка тогда и только тогда, когда функция  имеет в этой точке нуль n-го порядка. Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, A-1 = 0. Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана. Изолированная особая точка функции называется существенно особой точкой, если не существует конечного или бесконечного предела .

Основная теорема о вычетах. Пусть функция f(z) аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области , границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, z3, …, zn, расположенных внутри L.

Бесконечно удалённая особая точка Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке. Вычисление вычетов Найти вычет функции относительно всех изолированных особых точек. Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа. Комплекснозначная функция f(t), t Î(- ¥, ¥) называется оригиналом, если

1) f(t)=0 при t<0

2) в "(a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия Липшица

Интегрирование изображения

Пример . x ¢ ¢+ a2 x= b sin at, общие начальные данные x0, x1,

x ¢ ¢ ¢+ x=1, нулевые начальные условия.

Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

Атомная промышленость. Лекции по физике, математике, информатике MATLAB пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений