Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Ядерная индустрия Архитектура ПК Линейная и векторная алгебра Определенный интеграл ТФКП Математика примеры решения задач Примеры вычислений интегралов Курс лекций Сопротивление материалов

Энергетика
Оборудование атомной станции
Реактор БРЕСТ-2400
Ядерная индустрия
Введение в экологию энергетики
Информатика
Архитектура ПК
Математика
Множества
Линейная и векторная алгебра
Последовательность
Решение задач
Дифференцируемость функций
Исследование функций
Многочлены с комплексными коэффициентами
Определенный интеграл
ТФКП примеры решения задач
Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов
Математика примеры решения задач
Примеры вычислений интегралов
Физика Электротехника
Примеры решения задач
Линейные электрические цепи
Теоретические основы
электротехники
Графика
Курс лекций Сопротивление материалов
Сопромат расчеты на прочность
Машиностроительное черчение
Инженерная графика
История искусства
Акварель в архитектурном чертеже.
Мастерская живописи и рисунка
Построение архитектурного пространства
История живописи
Компьютерная математика
MATLAB
Основы графической визуализации вычислений
Пользовательский интерфейс
Операторы и функции
Специальные математические функции
Многомерные массивы
Численные методы
Обработка данных
Основы программирования
Архитектура ПК

 

Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Элементы теории поля

Скалярное и векторное поле

Однако для вычисления градиента удобно его координатное представление. Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.

Соленоидальное поле Определение.  - соленоидальное поле, если .

Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным

Неопределённый интеграл.

Первообразная функция. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. . Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Найти интеграл .

Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову Линейная алгебра Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента на любое число ?

Найти интеграл . Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Найти интеграл .

Найти интеграл . Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

 Найти интеграл  . Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются .

Найти интеграл . Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:

Определенный интеграл Вычисление определенного интеграла

Пример Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость. Решение. Перейдем от несобственного интеграла к определенному с границами .Далее считаем полученный интеграл, с помощью обычных правил интегрирования:

Вычислить интеграл от разрывной функции  или установить его расходимость. Решение. Данная подынтегральная функция имеет разрыв в точке х=0, поэтому разделим исходный интеграл на два несобственных интеграла, так как они будут представлять собой интегралы от разрывной функции в точке границы отрезка интегрирования.

Приложения определенного интеграла

Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией . Решение. Построим данную кривую. Полярные координаты точек кривой получаются заданием значений угла и вычислением значений  из равенства . Положение точки А на плоскости в полярной системе координат определяют расстоянием  от полюса 0 до точки и углом , образованным отрезком ОА с полярной осью

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле . Решение. Вычисление этого интеграла производится повторным интегрированием: сначала вычисляется интеграл , а затем поолучившаяся функция интегрируется по переменной х на отрезке [1;3].

Простейшие правила интегрирования

Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой). Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Интегралы , где  - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x) Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением

Техника нахождения неопределённых интегралов в теории функций комплексной переменной в основном та же, что и в математическом анализе; таблица основных интегралов в обоих случаях одинакова, поскольку одинакова таблица производных. Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой

Вычислить интеграл image114 (226 bytes), где:
а). l - прямая, соединяющая точки z1= 0 и z2 = 1+i;
б). l - ломаная ОВА, О(0,0), В(1,0), А(1,1).

Вычислить интеграл C-верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиуса 10.

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен . Интегралы вида  () с помощью той же операции (выделение полного квадрата) приводятся к одному из табличных интегралов

Интегралы вида  () берутся с применением той же техники

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)l - верхняя полуокружность | z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Вычислить интеграл ,если 3 i лежит внутри контура C, а точка –3 i вне его.

Вычислить интеграл из примера 1, если контур C представляет собой окружность с центром в начале координат и радиуса 4.

Вычислить интеграл , если точка 0 лежит внутри контура C, а точка 1 вне контура C.

Вычислить интеграл из примера 4 если обе точки 0 и 1 лежат внутри контура C.

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование простых дробей. Определение рациональных функций и простых дробей: Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов

 Примеры

Вычислить интеграл image266 (273 bytes)

Вычислить интеграл image273 (250 bytes)

вычислить интеграл

Вычисление несобственных интегралов

Вычислить интеграл: image55 (522 bytes)

Вычислить интеграл: image67 (488 bytes)

Вычислить интеграл: image95 (437 bytes)

Применение интегральных формул Коши к вычислению интегралов.

Интегрирование функций, рационально зависящих от . Частные тригонометрические подстановки Интегрирование произведения чётных степеней sin x, cos x.

Тригонометрические подстановки для интегралов вида .

.Вычислить интеграл , С={ x2 + y2 =2 x}, проходимый в положительном направлении.

Решение. Контур представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Корни знаменателя подынтегральной функции лежат на единичной окружности и на биссектрисах первого-третьего и второго-четвертого углов.

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

Вычислить интеграл где С – окружность | z|= r, проходимая в положительном направлении.

Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

Для решения задач этого раздела можно использовать следующие оценки для значений модуля многочлена на окружности радиуса R.

Вычислить интеграл

Несобственные интегралы.

 При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b] ); для существования определённого интеграла  необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными. В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при  удовлетворяют неравенствам .

. На всём промежутке интегрирования ; интеграл  сходится (), поэтому исходный интеграл сходится

Признак сравнения в предельной форме

Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость

Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что   расходится. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода). Определение несобственного интеграла от неограниченной функции. Особенность на правом конце промежутка интегрирования

Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница:   - расходится, так как первообразная  обращается в бесконечность в точке x = -1. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку

Приложения определенного интеграл.

Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем. В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше. Кардиоида .

Площадь плоской области.

 Декартовы координаты. Геометрический смысл определённого интеграла

Найти площадь, ограниченную лемнискатой . Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды  вне окружности .

Область ограничена кривыми, заданными параметрически.

Вычисление длин кривых Кривая задана параметрически .

Объёмы тел вращения.

Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси   дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)

Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Двойной интеграл. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).

Геометрический смысл двойного интеграла Аддитивность Теоремы об оценке интеграла

Вычисление двойного интеграла. Двукратный (повторный) интеграл. Определение простой (правильной) области. Область D на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках. Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному Теорема о замене переменных в двойном интеграле.

Двойной интеграл в полярных координатах. Задачи на двойной интеграл. Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры  (в декартовых координатах) и  (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному. Этот пример проще решается по второй формуле

Приложения двойного интеграла. Вычисление площадей плоских областей.

Вычисление объёмов. Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями z = f1(x,y), z = f2(x,y), , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, равен ; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла. Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.

Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением . Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

.

Механические приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике  определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и .

Атомная промышленость. Лекции по физике, математике, информатике MATLAB пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений