В задание включены задачи для расчёта электрических цепей сложной конфигурации с синусоидальными источниками электрической энергии. Целью задания является отработка расчётных приёмов, подробно рассмотренных в предыдущих заданиях, в частности, задания №4 в части использования комплексного метода расчёта электрических цепей. Топология цепей в задании соответствует топологии цепей в задании №3, но кроме резистивных элементов цепи содержат индуктивности и ёмкости.

 

Основы теории

Расчёт установившегося режима в линейной цепи при гармоническом (синусоидальном) воздействии выполняется на основе комплексного метода расчёта, основные положения которого подробно рассмотрены и проработаны в расчётно-графическом задании №4. Там рассмотрены цепи со смешанным соединением элементов r, L и C. Было показано, что сворачивание таких цепей, т.е. приведение к одному эквивалентному сопротивлению или проводимости, выполняется по тем же правилам, что и для резистивных цепей, но сопротивления (проводимости) элементов цепи должны быть представлены в комплексной форме. При соблюдении этого условия могут быть использованы и другие приёмы, применённые ранее (РГЗ №3) при расчёте резистивных цепей, такие как преобразование треугольника в эквивалентную звезду и обратно, наложение и пр. Если цепь представляет собой сложное соединение, то предпочтение отдаётся контурному или узловому анализу.

Метод контурных токов. Описание метода, данное в РГЗ №3 для резистивной цепи в полной мере справедливо для цепи переменного тока, но в комплексной форме.

Цепь, схема которой изображена на рис. 6.2, по топологии полностью соответствует схеме рис. 3.4, содержит три независимых контура, но кроме резистивных элементов содержит L и C и источники синусоидального напряжения. Записанную ниже систему уравнений по методу контурных токов предлагается сравнить с аналогичной системой (3.2) в РГЗ №3 на стр 31.

  (6.1)

Комплексные сопротивления по главной диагонали Zii  также как и там называются собственными сопротивлениями i – го контура. Они определяются как сумма всех комплексных сопротивлений, входящих в данный контур и всегда берутся со знаком плюс:

Сопротивления Zij называются общими сопротивлениями i-го и
j-го контуров. Они определяются как сумма комплексных сопротивлений, общих для i-го и j-го контуров, и берутся со знаком плюс, если
i-й и j-й токи совпадают по направлению. В противном случае – со знаком минус

ЭДС - определяются как алгебраическая сумма ЭДС источников, входящих в i-й контур:  

Решение системы можно получить по способу, изложенному в РГЗ №3, но в комплексной форме:

где Δ - главный определитель системы: 

а Δк1, Δк2, …. Δкn – алгебраические дополнения, полученные из главного определителя путём вычёркивания в нём k-й строки и n-го столбца и умножения на (–1)k+n .

Ток любой ветви определяется как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих по этой ветви. При этом со знаком плюс берутся те контурные токи, направление которых совпадает с УПН ветви. В приведённом примере:

При расчёте на компьютере обычно используют матричную форму записи уравнений контурных токов. Если цепь не содержит вырожденных ветвей (ветвей, содержащих идеальные источники тока), то:

При наличие вырожденных ветвей требуются предварительные преобразования.

Матрица ZК (контурных сопротивлений) может быть сформи­рованна по правилам, показанным выше, или посредствам формальных преобразований с использованием топологических матриц. Матрица
ZК = B ZB BT, где В – топологическая матрица контуров, а  ZB диагональная матрица сопротивлений ветвей. Для схемы цепи, изображённой на рис. 6.2

Такой способ формирования матрицы сопротивлений пред­почтителен, когда порядок системы сравнительно большой.

Задания по дисциплине Теоретические основы электротехники Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей